罗尔定理的应用题：

1. 设函数在上二阶可导，且，. 又在内二阶可导，且，证明：，使得.

证明：构造辅助函数。由于在内二阶可导，且

所以在上恒正或恒负，不妨假设.

由于，不妨假设, 则

因为，，由极限的保号性，

存在使得，存在使得.

显然有.

在闭区间上应用区间套定理，可得，使得

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事实上，取，

将区间二等分，取其中之一的子区间为，它满足，

按照这种规则一直取下去，就得到一个闭区间套，

由闭区间套定理，存在使得，由极限的保号性知

，，故

再由拉格朗日定理得，且，

（极限保号性）

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从而，

i) 若，因为，由零点定理得，使，

又因为，由零点定理得，使，

最后在上对函数应用罗尔定理，即存在，使得，从而得到

.

ii) 若，因为在上连续，且，，由连续函数的最值定理，必

，使得，即在内部取到最小值，由费马定理得，

因而得到. 证毕！

点评：在证明形如 “存在某一中值，使其满足方程”，这一类问题中，

基本的思路：1）构造辅助函数，（借助微分运算的方法， k值法等）；

2）验证满足罗尔定理的三个条件，若满足，则存在，使得

，命题得到证明。

一般罗尔定理的前两个条件往往容易满足，端点值相等这个条件有时不易满足，此时就要通过

题设条件，找到一个子区间，使其满足，然后在闭区间

上应用罗尔定理。

若利用题设条件不易找到子区间，那么证明的思路就要转向去寻找内

部的极值点（最值点），（其中要用到连续函数的最值定理），再由费马定理得到存在，

使得，命题得到证明。

关于罗尔定理有关问题的证明方法