2019 年湖北省襄阳市中考数学试卷

一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答

1．（3 分）计算|﹣3|的结果是（ ）

A．3 B． C．﹣3 D．±3 2．（3 分）下列运算正确的是（ ）

A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）﹣3＝a﹣6 3．（3 分）如图，直线 BC∥AE，CD⊥AB 于点 D，若∠BCD＝40°，则∠1 的度数是（ ）

A．60° B．50° C．40° D．30°

4．（3 分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（ ）

A．青 B．来 C．斗 D．奋5．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

word/media/image8.gif6．（3 分）不等式组 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

7．（3 分）如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于 C，D 两点，连接 AC，BC，AD，BD，则四边形 ADBC 一定是（ ）

A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形8．（3 分）下列说法错误的是（ ）

A． 必 然 事 件 发 生 的 概 率 是 1 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得

9．（3 分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？ 设合伙人数为 x 人，所列方程正确的是（ ）

A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝

10．（3 分）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形 OBCD 是平行四边形，AC 与 OB 相交于点 P，下列结论错误的是（ ）

A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC 平分 OB

二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.把答案填在答题卡的相应位置上

11．（3 分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有 1.2 亿人在平台上学习．1.2 亿这个数用科学记数法表示为 ．

12．（3 分）定义：a*b＝，则方程 2*（x+3）＝1*（2x）的解为 ．

13．（3 分）从 2，3，4，6 中随机选取两个数记作 a 和 b（a＜b），那么点（a，b）在直线 y

＝2x 上的概率是 ．

14．（3 分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，

③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB 的是 （只填序号）．

15．（3 分）如图，若被击打的小球飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有的关系为 h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．

16．（3 分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 D 在

AB 上，

∠BAC＝∠DEC＝30°，AC 与 DE 交于点 F，连接 AE，若 BD＝1，AD＝5，则

＝ ．

三、解答题：本大题共 9 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。

17．（6 分）先化简，再求值：（﹣1）÷ ，其中 x＝ ﹣1．

18．（6 分）今年是中华人民共和国建国 70 周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动．学校 3000 名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于 60 分

（满分 100 分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：

（1）表中 a＝ ，b＝ ；

（2） 这组数据的中位数落在 范围内；

（3） 判断：这组数据的众数一定落在 70≤x＜80 范围内，这个说法 （填“正确”

或“错误”）；

（4） 这组数据用扇形统计图表示，成绩在 80≤x＜90 范围内的扇形圆心角的大小为 ；

（5） 若成绩不小于 80 分为优秀，则全校大约有 名学生获得优秀成绩．

19．（6 分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 112m2，则小路的宽应为多少？

20．（6 分）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱 BC 和塔冠 BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为 121m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37°， 从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5m，在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为 45°．请你求出塔冠 BE 的高度（结果精确到 0.1m．参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75，≈1.41）．

21．（7 分）如图，已知一次函数 y1＝kx+b 与反比例函数 y2＝的图象在第一、第三象限分别交于 A（3，4），B（a，﹣2）两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C，D 两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）比较大小：AD BC（填“＞”或“＜”或“＝”）；

（3）直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围．

22．（8 分）如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点 D，过 D 作直线 DG∥BC．

（1） 求证：DG 是⊙O 的切线；

（2） 若 DE＝6，BC＝6，求优弧的长．

23．（10 分）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：

（1） 该超市购进甲种蔬菜 10kg 和乙种蔬菜 5kg 需要 170 元；购进甲种蔬菜 6kg 和乙种蔬菜 10kg 需要 200 元．求 m，n 的值；

（2） 该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于 20kg，且不大于 70kg．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 60kg 的部分，当天需要打 5 折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获

得的利润额 y（元）与购进甲种蔬菜的数量 x（kg）之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；

（3） 在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于 20%，求 a 的最大值．

24．（10 分）（1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点 E，Q 分别在边 BC，AB 上， DQ⊥AE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD，AB 上，GF⊥AE．

①求证：DQ＝AE；

②推断：的值为 ；

（2） 类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中，＝k（k 为常数）．将矩形 ABCD 沿 GF

折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE

交 GF 于点 O．试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由；

（3） 拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k＝时，若 tan∠CGP＝，GF＝

2，求 CP 的长．

25．（13 分）如图，在直角坐标系中，直线 y＝﹣x+3 与 x 轴，y 轴分别交于点 B，点 C，对称轴为 x＝1 的抛物线过 B，C 两点，且交 x 轴于另一点 A，连接 AC．

（1） 直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标和抛物线的解析式；

（2） 已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时，求点 P 的坐标；

（3） 抛物线上是否存在一点 Q（点 C 除外），使以点 Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

2019 年湖北省襄阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答

1．（3 分）计算|﹣3|的结果是（ ）

A．3 B． C．﹣3 D．±3

【分析】根据绝对值的性质进行计算．

【解答】解：|﹣3|＝3． 故选：A．

【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．

2．（3 分）下列运算正确的是（ ）

A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）﹣3＝a﹣6

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、a3﹣a2，无法计算，故此选项错误；

B、a2•a3＝a5，故此选项错误； C、a6÷a2＝a4，故此选项错误； D、（a2）﹣3＝a﹣6，正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．（3 分）如图，直线 BC∥AE，CD⊥AB 于点 D，若∠BCD＝40°，则∠1 的度数是（ ）

A．60° B．50° C．40° D．30°

【分析】先在直角△CBD 中可求得∠DBC 的度数，然后平行线的性质可求得∠1 的度数．

【解答】解：∵CD⊥AB 于点 D，∠BCD＝40°，

∴∠CDB＝90°．

∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+40°＝90°．

∴∠DBC＝50°．

∵直线 BC∥AE，

∴∠1＝∠DBC＝50°． 故选：B．

【点评】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质， 掌握相关知识是解题的关键．

4．（3 分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（ ）

A．青 B．来 C．斗 D．奋

【分析】正方体展开图的“Z”字型找对面的方法即可求解；

【解答】解：由：“Z”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋； 故选：D．

【点评】本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图的特点是解题的关键．

5．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B．

word/media/image49.gif【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．

6．（3 分）不等式组 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可．

【解答】解：不等式组整理得： ，

∴不等式组的解集为 x≤﹣3，

故选：C．

【点评】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．（3 分）如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于 C，D 两点，连接 AC，BC，AD，BD，则四边形 ADBC 一定是（ ）

A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形

【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断．

【解答】解：由作图可知：AC＝AD＝BC＝BD，

∴四边形 ACBD 是菱形， 故选：D．

【点评】本题考查基本作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图， 属于中考常考题型．

8．（3 分）下列说法错误的是（ ）

A. 必然事件发生的概率是 1

B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得

【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于 0

并且小于 1．

【解答】解：A、必然事件发生的概率是 1，正确；

B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；

D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，故选：C．

【点评】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小， 概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率 P（A）＝1；不可能发生事件的概率 P（A）＝0；随机事件，发生的概率大于 0 并且小于 1．事件发生的可能性越大，概率越接近与 1，事件发生的可能性越小，概率越接近于 0．

9．（3 分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？ 设合伙人数为 x 人，所列方程正确的是（ ）

A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝

【分析】设合伙人数为 x 人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于 x 的一元一次方程， 此题得解．

【解答】解：设合伙人数为 x 人， 依题意，得：5x+45＝7x+3．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

10．（3 分）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形 OBCD 是平行四边形，AC 与 OB 相交于点 P，下列结论错误的是（ ）

A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC 平分 OB

【分析】利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到 CD∥OB，CD

＝OB，则可求出∠A＝30°，在 Rt△AOP 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系可对 A 选项进行判断；利用 OP∥CD，CD⊥AC 可对 C 选项进行判断；利用垂径可判断 OP 为△ ACD 的中位线，则 CD＝2OP，原式可对 B 选项进行判断；同时得到 OB＝2OP，则可对 D 选项进行判断．

【解答】解：∵AD 为直径，

∴∠ACD＝90°，

∵四边形 OBCD 为平行四边形，

∴CD∥OB，CD＝OB，

在 Rt△ACD 中，sinA＝＝，

∴∠A＝30°，

在 Rt△AOP 中，AP＝OP，所以 A 选项的结论错误；

∵OP∥CD，CD⊥AC，

∴OP⊥AC，所以 C 选项的结论正确；

∴AP＝CP，

∴OP 为△ACD 的中位线，

∴CD＝2OP，所以 B 选项的结论正确；

∴OB＝2OP，

∴AC 平分 OB，所以 D 选项的结论正确． 故选：A．

【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．

二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.把答案填在答题卡的相应位置上

11．（3 分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全

国大约有 1.2 亿人在平台上学习．1.2 亿这个数用科学记数法表示为 1.2×108 ．

【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10 的 n 次幂的形式），其中 1≤|a|＜10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以 10 的 n 次 幂．

【解答】解：1.2 亿＝1.2×108． 故答案为：1.2×108．

【点评】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．

12．（3 分）定义：a*b＝，则方程 2*（x+3）＝1*（2x）的解为 x＝1 ．

【分析】根据新定义列分式方程可得结论．

【解答】解：2*（x+3）＝1*（2x），

＝，

4x＝x+3，

x＝1，

经检验：x＝1 是原方程的解， 故答案为：x＝1．

【点评】本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．

13．（3 分）从 2，3，4，6 中随机选取两个数记作 a 和 b（a＜b），那么点（a，b）在直线 y

word/media/image67.gif＝2x 上的概率是 ．

【分析】画出树状图，找到 b＝2a 的结果数，再根据概率公式解答

【解答】解：画树状图如图所示，

一共有 6 种情况，b＝2a 的有（2，4）和（3，6）两种， 所以点（a，b）在直线 y＝2x 上的概率是 ＝ ，

故答案为：．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率．

14．（3 分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝

DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB 的是 ② （只填序号）．

【分析】一般三角形全等的判定方法有 SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．

【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且 BC＝CB

∴若添加①∠A＝∠D，则可由 AAS 判定△ABC≌△DCB；

若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB； 若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB． 故答案为：②．

【点评】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断．

15．（3 分）如图，若被击打的小球飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有的关系为 h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．

【分析】根据关系式，令 h＝0 即可求得 t 的值为飞行的时间

【解答】解：

依题意，令 h＝0 得

0＝20t﹣5t2

得 t（20﹣5t）＝0

解得 t＝0（舍去）或 t＝4

即小球从飞出到落地所用的时间为 4s

故答案为 4．

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为 0 时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单

16．（3 分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 D 在

AB 上，

word/media/image73.gif∠BAC＝∠DEC＝30°，AC 与DE 交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝ ．

【分析】过点 C 作 CM⊥DE 于点 M，过点 E 作 EN⊥AC 于点 N，先证△BCD∽△ACE， 求出 AE 的长及∠CAE＝60°，推出∠DAE＝90°，在 Rt△DAE 中利用勾股定理求出 DE 的长，进一步求出 CD 的长，分别在 Rt△DCM 和 Rt△AEN 中，求出 MC 和 NE 的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出 CF 与 EF 的比值．

【解答】解：如图，过点 C 作 CM⊥DE 于点 M，过点 E 作 EN⊥AC 于点 N，

∵BD＝1，AD＝5，

∴AB＝BD+AD＝6，

∵在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，

∴BC＝ AB＝3，AC＝ BC＝3 ， 在 Rt△BCA 与 Rt△DCE 中，

∵BAC＝∠DEC＝30°，

∴tan∠BAC＝tan∠DEC，

∴，

∵BCA＝∠DCE＝90°，

∴∵BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，

∴∠BCD＝∠ACE，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CAE＝∠B＝60°，∴ ，

∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°， ，

∴AE＝ ，

在 Rt△ADE 中 ， DE＝ ＝＝2 ， 在 Rt△DCE 中，∠DEC＝30°，

∴∠EDC＝60°，DC＝ DE＝ ，

在 Rt△DCM 中，

MC＝DC＝ ， 在 Rt△AEN 中，

NE＝AE＝ ，

∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90，

word/media/image88.gif∴△MFC∽△NFE，

∴＝ ＝，

word/media/image91.gif

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．

三、解答题：本大题共 9 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，

并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。

17．（6 分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中 x＝﹣1．

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．

【解答】解：（﹣1）÷

＝（﹣）÷

＝×

＝，

当 x＝ ﹣1 时，原式＝＝．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

18．（6 分）今年是中华人民共和国建国 70 周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动．学校 3000 名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于 60 分

（满分 100 分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：

（1）表中 a＝ 20 ，b＝ 0.2 ；

（2） 这组数据的中位数落在 70≤x＜80 范围内；

（3） 判断：这组数据的众数一定落在 70≤x＜80 范围内，这个说法 正确 （填“正确”

或“错误”）；

（4） 这组数据用扇形统计图表示，成绩在 80≤x＜90 范围内的扇形圆心角的大小为

72° ；

（5） 若成绩不小于 80 分为优秀，则全校大约有 900 名学生获得优秀成绩．

【分析】（1）调查学生总数：15÷0.3＝50（名），70≤x＜80 的频数：50﹣15﹣10﹣5＝

20，即 a＝2080≤x＜90 的频率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即 b＝0.2；

（2） 共 50 名学生，中位数落在“70≤x＜80”范围内；

（3） “70≤x＜80”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在 70≤x＜80 范围内；

（4） 成绩在 80≤x＜90 范围内的扇形圆心角： ＝72°；

（5） 获得优秀成绩的学生数： ＝900（名）．

【解答】解：（1）调查学生总数：15÷0.3＝50（名），

70≤x＜80 的频数：50﹣15﹣10﹣5＝20，即 a＝20

80≤x＜90 的频率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即 b＝0.2， 故答案为 20，0.2；

（2） 共 50 名学生，中位数落在“70≤x＜80”范围内；

（3） “70≤x＜80”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在 70≤x＜80 范围内，故答案为正确；

（4） 成绩在 80≤x＜90 范围内的扇形圆心角： ＝72°，

故答案为 72°；

（5） 获得优秀成绩的学生数： ＝900（名），故答案为 900．

【点评】本题考查了中位数与众数，正确理解中位数、众数的意义是解题的关键．

19．（6 分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 112m2，则小路的宽应为多少？

【分析】设小路的宽应为 xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）；那么根据题意得出方程，解方程即可．

【解答】解：设小路的宽应为 xm，

根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，

解得：x1＝1，x2＝16．

∵16＞9，

∴x＝16 不符合题意，舍去，

∴x＝1．

答：小路的宽应为 1m．

【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．

20．（6 分）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱 BC 和塔冠 BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为 121m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37°， 从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5m，在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为 45°．请你求出塔冠 BE 的高度（结果精确到 0.1m．参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75，≈1.41）．

【分析】根据正切的定义分别求出 EC、BC，结合图形计算，得到答案．

【解答】解：在 Rt△ABC 中，tanA＝， 则 BC＝AC•tanA≈121×0.75＝90.75，

由题意得，CD＝AC﹣AD＝97.5， 在 Rt△ECD 中，∠EDC＝45°，

∴EC＝CD＝97.5，

∴BE＝EC﹣BC＝6.75≈6.8（m），答：塔冠 BE 的高度约为 6.8m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键．

21．（7 分）如图，已知一次函数 y1＝kx+b 与反比例函数 y2＝的图象在第一、第三象限分别交于 A（3，4），B（a，﹣2）两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C，D 两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）比较大小：AD ＝ BC（填“＞”或“＜”或“＝”）；

（3）直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围．

【分析】（1）把 A（3，4）代入反比例函数 y2＝，根据待定系数法即可求得 m，得到

反比例函数的解析式，然后代入 B（a，﹣2），求得 a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；

（2） 求得 C、D 的坐标，利用勾股定理即可判断；

（3） 根据图象即可求得．

【解答】解：（1）把 A（3，4）代入反比例函数 y2＝得，

4＝，解得 m＝12，

∴反比例函数的解析式为 y2＝；

∵B（a，﹣2）点在反比例函数 y2＝的图象上，

∴﹣2a＝12，解得 a＝﹣6，

∴B（﹣6，﹣2），

∵一次函数 y1＝kx+b 的图象经过 A（3，4），B（﹣6，﹣2）两点，

∴ ，解得 ，

∴一次函数的解析式为 y1＝x+2；

（2）由一次函数的解析式为 y1＝ x+2 可知 C（0，2），D（﹣3，0），

∴AD＝ ＝2，BC＝ ＝2，

∴AD＝BC， 故答案为＝；

（3）由图象可知：y1＜y2 时 x 的取值范围是 x＜﹣6 或 0＜x＜3．

【点评】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式， 待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常 用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．

22．（8 分）如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点 D，过 D 作直线 DG∥BC．

（1） 求证：DG 是⊙O 的切线；

（2） 若 DE＝6，BC＝6，求优弧的长．

【分析】（1）连接 OD 交 BC 于 H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD， 则＝，利用垂径定理得到 OD⊥BC，BH＝CH，从而得到 OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）连接 BD、OB，如图，先证明∠DEB＝∠DBE 得到 DB＝DE＝6，再利用正弦定义求出∠BDH＝60°，则可判断△OBD 为等边三角形，所以∠BOD＝60°，OB＝BD＝6， 则∠BOC＝120°，然后根据弧长公式计算优弧的长．

【解答】（1）证明：连接 OD 交 BC 于 H，如图，

∵点 E 是△ABC 的内心，

∴AD 平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD，

∴＝，

∴OD⊥BC，BH＝CH，

∵DG∥BC，

∴OD⊥DG，

∴DG 是⊙O 的切线；

（2）解：连接 BD、OB，如图，

∵点 E 是△ABC 的内心，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠DBC＝∠BAD，

∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，

∴DB＝DE＝6，

∵BH＝ BC＝3 ，

在 Rt△BDH 中，sin∠BDH＝＝＝，

∴∠BDH＝60°， 而 OB＝OD，

∴△OBD 为等边三角形，

∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，

∴∠BOC＝120°，

∴优弧 的长＝＝8π．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的判定和弧长公式．

23．（10 分）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：

（1） 该超市购进甲种蔬菜 10kg 和乙种蔬菜 5kg 需要 170 元；购进甲种蔬菜 6kg 和乙种蔬菜 10kg 需要 200 元．求 m，n 的值；

（2） 该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于 20kg，且不大于 70kg．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 60kg 的部分，当天需要打 5 折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额 y（元）与购进甲种蔬菜的数量 x（kg）之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；

（3） 在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于 20%，求 a 的最大值．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得 m、n 的值；

（2） 根据题意，利用分类讨论的方法可以求得 y 与 x 的函数关系式；

（3） 根据（2）中的条件，可以求得 y 的最大值，然后再根据题意，即可得到关于 a 的不等式，即可求得 a 的最大值，本题得以解决．

【解答】解：（1）由题意可得，

，解得， ，

答：m 的值是 10，n 的值是 14；

（2） 当 20≤x≤60 时 ， y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400，当 60＜x≤70 时，

y＝（16﹣10）×60+（16﹣10）×0.5×（x﹣60）+（18﹣14）（100﹣x）＝﹣x+580，

由上可得，y＝；

（3）当 20≤x≤60 时，y＝2x+400，则当 x＝60 时，y 取得最大值，此时 y＝520， 当 60＜x≤70 时，y＝﹣x+580，则 y＜﹣60+580＝520，

由上可得，当 x＝60 时，y 取得最大值，此时 y＝520，

∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于 20%，

∴，

解得，a≤1.8，

即 a 的最大值是 1.8．

【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．

24．（10 分）（1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点 E，Q 分别在边 BC，AB 上， DQ⊥AE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD，AB 上，GF⊥AE．

①求证：DQ＝AE；

②推断：的值为 1 ；

（2） 类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中，＝k（k 为常数）．将矩形 ABCD 沿 GF

折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE

交 GF 于点 O．试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由；

（3） 拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k＝时，若 tan∠CGP＝，GF＝

2，求 CP 的长．

【分析】（1）①由正方形的性质得 AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD

＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得

AE＝DQ．

②证明四边形 DQFG 是平行四边形即可解决问题．

（2） 结论： ＝k．如图 2 中，作 GM⊥AB 于 M．证明：△ABE∽△GMF 即可解决问题．

（3） 如图 2﹣1 中，作 PM⊥BC 交 BC 的延长线于 M．利用相似三角形的性质求出 PM，

CM 即可解决问题．

【解答】（1）①证明：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．

∴∠QAO+∠OAD＝90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD＝90°．

∴∠QAO＝∠ADO．

∴△ABE≌△DAQ（ASA），

∴AE＝DQ．

②解：结论：＝1．

理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，

∴DQ∥FG，

∵FQ∥DG，

∴四边形 DQFG 是平行四边形，

∴FG＝DQ，

∵AE＝DQ，

∴FG＝AE，

∴ ＝1． 故答案为 1．

（2） 解：结论：＝k．

理由：如图 2 中，作 GM⊥AB 于 M．

∵AE⊥GF，

∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，

∴∠BAE＝∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，

∴＝，

∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，

∴四边形 AMGD 是矩形，

∴GM＝AD，

∴＝＝＝k．

（3） 解：如图 2﹣1 中，作 PM⊥BC 交 BC 的延长线于 M．

∵FB∥GC，FE∥GP，

∴∠CGP＝∠BFE，

∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝ ＝，

∴可以假设 BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，

∵＝，FG＝2 ，

∴AE＝3 ，

∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，

∴K＝1 或﹣1（舍弃），

∴BE＝3，AB＝9，

∵BC：AB＝2：3，

∴BC＝6，

∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，

∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，

∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，

∴∠FEB＝∠EPM，

∴△FBE∽△EMP，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴EM＝ ，PM＝ ，

∴CM＝EM＝EC＝ ﹣3＝，

word/media/image169.gif∴PC＝ ＝ ．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

25．（13 分）如图，在直角坐标系中，直线 y＝﹣x+3 与 x 轴，y 轴分别交于点 B，点 C，

对称轴为 x＝1 的抛物线过 B，C 两点，且交 x 轴于另一点 A，连接 AC．

（1） 直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标和抛物线的解析式；

（2） 已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时，求点 P 的坐标；

（3） 抛物线上是否存在一点 Q（点 C 除外），使以点 Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）y＝﹣ x+3，令 x＝0，则 y＝3，令 y＝0，则 x＝6，故点 B、C 的坐标分别为（6，0）、（0，3），即可求解；

（2） PH＝PGcosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3），即可求解；

（3） 分点 Q 在 x 轴上方、点 Q 在 x 轴下方两种情况，分别求解．

【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令 x＝0，则 y＝3，令 y＝0，则 x＝6， 故点 B、C 的坐标分别为（6，0）、（0，3），

抛物线的对称轴为 x＝1，则点 A（﹣4，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3…①；

（2） 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G，作 PH⊥BC 于点 H，

将点 B、C 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+3，

则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝ ＝＝tanα，则 cosα＝， 设点 P（x，﹣x2+x+3），则点 G（x，﹣x+3），

则 PH＝PGcosα＝（﹣x2+x+3+ x﹣3）＝﹣x2+x，

∵ ＜0，故 PH 有最小值，此时 x＝3， 则点 P（3，）；

（3） ①当点 Q 在 x 轴上方时，

则点 Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC 全等，此时点 Q 与点 C 关于函数对称轴对称， 则点 Q（2，3）；

②当点 Q 在 x 轴下方时，

Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC 相似，则∠ACB＝∠Q′AB，

当∠ABC＝∠ABQ′时，

直线 BC 表达式的 k 值为﹣，则直线 BQ′表达式的 k 值为， 设直线 BQ′表达式为：y＝x+b，将点 B 的坐标代入上式并解得： 直线 BQ′的表达式为：y＝x﹣3…②，

联立①②并解得：x＝6 或﹣8（舍去 6）， 故点 Q（Q′）坐标为（﹣8，﹣7）（舍去）；当∠ABC＝∠ABQ′时，

同理可得：直线 BQ′的表达式为：y＝x﹣…③，

联立①③并解得：x＝6 或﹣10（舍去 6），故点 Q（Q′）坐标为（﹣10，﹣12），

由点的对称性，另外一个点 Q 的坐标为（12，﹣12）；

综上，点 Q 的坐标为：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

2019年湖北省襄阳市中考数学试卷