一道IMO试题的背景及证法讨论
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２０００年第１期
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中学数学教学 ３７
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８ 一道ＩＭＯ试题的背景及证法讨论
、
贵州教育学院
ｌ颓目的背景
李长明（邮编：５５０００３）
简的反证法。
（＝）ｆＺ 、
，
第３９届（１９９８年）国际数学奥林匹克第一尢题是 道几何题，为深入了解此题的意义．我们先看一个古老
的定Ｎｈｌ：
婆罗摩笈多定理
一
假定
ＰＡＬ≠ＰＤ 不妨设ＰＡ＜ＰＤ 则以Ｐ为圆
心、ＰＤ为半径作０Ｐ 其他符号 如图２所示。
ＰＡ＜ＰＤ．
。．
圆内接四边形ＡＢＣＤ中，若二
对角线交于Ｈ且互相垂直，则
边的中点与交点的连线必垂 直于对边；反之．过交点作一边 的垂线必平分对边。
由此定理窑易得到如下推 论：
推论Ｌ 圆内接四边形两
（圜１）
Ａ在０Ｐ内．
而Ｃ在圆上，故延长ＣＡ 交０Ｐ于Ａ ．
同理延长ＤＢ交０Ｐ于Ｂ ， （圈２）
显然Ａ Ｂ ＞ＡＢ．ＰＮ ＞ＰＮ，于是嵌银川赛题：
１
１
尸Ｍ：÷Ａ Ｂ ．ＰＮ ＝÷ＣＤ． ‘ Ｌ
１
１
条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线
段等于圆心到这一边的对边之距离（如图１中，ＨＭ＝
ＯＮ）。
÷ＰＭ・ＣＤ：ｉ－ＰＮ ・Ａ Ｂ 。
‘
再依充分性假定．Ｓ Ｐ∞：Ｓ 舢．
这便是１９７８年上海市数学竞赛题之一。其证明 关键在于证明ＯＭＨＮ是平行四边形［２１。
推论２圆内接四边形两条对角线互相垂直．则 圆心到一边的距离，等于这一边对边的一半（如图１．
即
故
÷ＰＭ・ｃＤ＝÷刚・ＡＢ． ‘
ＰＮ －Ａ＇１３ ：ＰＮ・ＡＢ。
显然与Ａｒ丑 ＞ＡＢ且Ｐ ＞ＰＮ矛盾。
故充分性得证。 （２）充分性的直接证法 如果联系到上海赛题．便知 眦
Ｎ应是一个平行四边形。
即ＯＭ＝÷ＣＤ）。 ‘
此即１９７８年银川市数学竞赛题之一［ 。由此又 可推得：
推论３圆内接四边形ＡＢＣＤ，二对角线垂直并 相交于Ｈ，圆心为０，则Ｓ△Ａ衄：Ｓ△∞Ｄ。
２一道ＩＭＯ赛颓
作上述推论３之逆，便得
设法证到这一点．充分性便迎刃而解．现介绍如下
证
’
．
符号如图３所示。
Ｓ△
＝Ｓ△ｍ
，
。
．
｛ＰＮ・ＡＢ＝ １ ＰＭ
ＥＮ ＰＭ
ＥＭ—ＰＮ。
第３９届ＩＭＯ的第一题
设凸四边形ＡＢＣＤ的两条对角线ＡＣ与ＢＤ互相 垂直，且两对边ＡＢ与ＤＣ不平行．氨Ｐ为线段ＡＢ与 ＤＣ的垂直平分线之交点．且在四边形的内部．
求证 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆的充分必要条件为
Ｓｚ￣ｐＡｒ３ Ｓａ．ｍ
．
ＣＤ，
即ＰＮ・ＥＮ＝ＰＭ・ＥＭ
ＡＢ不平行ｃ （图３）
墨 ，
’
９。
显然．此题皴证的必要条件．正是上述推论３；而 充分性则是该推论之逆．故本题的必要性易证．而难在
充分性的证明。
（１）充分性的反证法
同理 ４：／＇５＝／＇６， 故／ＮＥＭ＝／１＋９０。＋ ４
＝
／３＋９０。＋／６＝／ＭＰＮ．
．．
△ＮＦ．ＭＣＯｍ，ＭＰＮ（夹等角两边成比例）． △ＮＥＭＣＯｍ，ＭＰＮ（’．ＭＮ公用）， ＰＮ＝ＥＭ＝÷ＣＤ．ＰＭ＝ＥＮ＝Ｚ －ＡＢ
’
介绍本届试题的文［３］，对拳题的充分性，采用的 是反证法。即使用反证法．因不了解或未与上述银ＪｉＩ 赛题联系起来，就较为费事。现依推论２可得如下较
．
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数 欹 ， 生
中学敷学教学
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