(新课标)高考数学总复习：考点30-几何证明选讲(含解析)

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考点30几何证明选讲
1．（2010·陕西高考理科·Ｔ１5）如图,已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,
BD
DA则.
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题.【
思
路
点
拨
】
条
件

RtADCRtADCRtACB
∽
AC

AB
ADBD
RtADCRtACB
ADAC
ADBD
结论ACAB
0
ADC90,ADC为RtAD【规范解答】∵以AC为直径的圆与AB交于点D,∴，，
ADAC9ADACACAC29991616
,,ADRtRtADCADCRtRtACBACB,,AD,,BDBDABABADAD55
ACAB5ACABABAB55555，∽
BD16
DA9.
16
【答案】9
2．（2010·陕西高考文科·Ｔ１5）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题.【
思
路
点
拨
】
条
件

RtADCRtADCRtACB
∽
AC

AB
ADBD
RtADCRtACB
ADAC
ADBDACAB
0
ADC90,ADC为RtAD【规范解答】∵以AC为直径的圆与AB交于点D,∴，，
ADACACAC299ADAC916
RtRtADCADCRtRtACBACB,,AD,,BDBDABABAD5,,AD
ACABABAB55ACAB55.∽
16
【答案】5
3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如图，
O的弦ED，CB的延长线
交于点A.若BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝.
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【命题立意】本题考查几何证明的知识，运用割线定理是解决本题的突破口.
【思路点拨】本题可由割线定理求出DE，再利用三个直角三角形RtABD,RtBDE,RtBCE求CE.【规范解答】由割线定理得，ABACADAE，即463AE，得AE8.DE835.连接
0
BE，因为BDAE，所以BE为直径，所以BCE90.在RtABD中，BD437.
22
22725(CE32324727.BE5742.在RtBCE中，RtBDE在中BE=CE=
E
D3
A
4B
2C

【答案】527
4．（2010·天津高考文科·Ｔ１1）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
BC
延长AB和DC相交于点P.若PB=1，PD=3，则AD的值为.
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用.【思路点拨】利用相似三角形的性质转化.
【规范解答】由题意可知△BCP∽△DAP相似，
BPPD13BC1

BCADAD3.所以BCAD1
【答案】3
5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边
PB1PC1BC
=,=
形，延长AB和DC相交于点P，若PA2PD3,则AD的值为.
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用.【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化.【规范解答】由题意可知△BCP∽△DAP相似，
BCPCPBPCPBPB1PC1
=,=
所以ADAPPD,由APPD及已知条件PA2PD3PC22PC6BC6BCPC
==2
3PB3,又ADPA,AD6.3可得PB
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6
【答案】6
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥
a
AB，AB=AD=a，CD=2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=.
【命题立意】本题主要考查平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质.
【思路点拨】利用直角梯形的性质，求出DB，再利用三角形中位线的性质，求出EF.【规范解答】连接DE，DB，则四边形EBCD为矩形，所以DEAB且
EBDC
a2，
ABa,
AEEB
a
2,所以ABD是以AB为底的等腰三角形，即：
EF
1aDB.22
DADB=a，又点E，F分别为线段AB，AD的中点，所以EF为ABD的中位线，所以
a
【答案】
2
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，
2a
PD=3，∠OAP=30°，则CP＝______.

【命题立意】本题考查垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得OPAB，算出AP，再由相交弦定理求出CP.
【规范解答】因为P为AB的中点，由垂径定理得OPAB，在RtOPA中，
BPAPacos30
3223
(aCPaa
3，2，由相交弦定理得：BPAPCPDP，即2
9
CPa.
8解得
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9a.8【答案】
8．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图所示，过点P到
外一点P作一条直线与
交于A,B两点.已知PA=2，
的切线上PT=4，则弦AB的长为.
【命题立意】以直线和圆立意，考查处理平面问题的一种方法：平面几何法.
【思路点拨】割切→切割线定理
【规范解答】∵PT=4，PA=2，PT2=PA·PB，∴PB=8，∴AB=PB-PA=6，∴弦长AB=6.【答案】6
【方法技巧】弦→连接弦中点和圆心，切→连接切点和圆心，联想弦切角等于同弧所对的圆周角，割→切割线定理.
9.（2010·江苏高考·Ｔ2１）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC.
【命题立意】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明即可.【规范解答】方法一：连结OD，则OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC.方法二：连结OD，BD.
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB.因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900.又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO.即2OB=OB+BC，得OB=BC.故AB=2BC.
10．（2010·辽宁高考理科·Ｔ22）如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（1）证明：ABE
ADC
S
1
ADAE2，求BAC的大小.
（2）若ABC的面积
【命题立意】本题考查了几何证明、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、三角形的面积公式等.
【思路点拨】（1）先求出相等的两角，再证相似.
（2）先由三角形相似，得到AB·AC=AD·AE，再比较三角形的面积公式，得到sin∠BAC,进而求出∠BAC.【规范解答】（1）由已知条件，可得∠BAE=∠CAD
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(I由已知条件，可得BAE＝CAD因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEB＝ACD
所以△ABE∽△ADC(2因为△ABE∽△ADC

ABAD＝，即ABAC＝ADAE，AEAC11
又S＝ABACsinBAC,且S＝ADAE，
22所以ABACsinBAC＝ADAE，所以
所以sinBAC1,又BAC为三角形的内角，所以BAC＝90o。

11.（2010•海南高考•理科T22）如图，已知圆上的弧ACBD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（1）ACE=BCD.（2）BC=BE•CD.
【命题立意】本题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识.
【思路点拨】熟练利用等弧所对的圆心角相等，判断出三角形相似，然后证明问题.【规范解答】（1）因为ACBD,所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC所以ACEBCD.（2）因为ECBCDB,EBCBCD,
2
所以BDC
2
BCCD

ECB,故BEBC.
即BC=BE•CD.
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