2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷 附解析

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2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，
A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3}B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}2．（3分）已知复数A．2
B．1
，其中i是虚数单位，则|z|=（）
，则（）
C．D．
”的（）条件．
3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“A．充分不必要B．必要不充分C．充要
D．既不充分也不必要
4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α
5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能
是（）
A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）6．（3分）已知实数x，y满足约束条件

D．y=﹣f（|x|）则
的取值范围是（）
A．B．C．D．

7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）
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A．120B．150C．240D．300
8．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，若有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤M，则M的最小值为（）A．3
B．4
C．5
D．6
，
9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若则A．
=（）B．
C．
D．

10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）A．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为tanα=．
12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：ξ
﹣1P若
x


B．C．或D．或

，则sinα=，
012
y
，则x+y=，D（ξ）=．
13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为．
第2页（共20页）



14．（3分）已知等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=，T13=．15．（3分）若16．（3分）过双曲线
双曲线的两条渐近线于A，B两点，若17．（3分）已知函数f（x）=
的展开式中常数项为60，则实数a的值是．
上任意一点P作平行于x轴的直线，交
，则双曲线的离线率为．，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，
的取值范围是．
x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则
三、解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．（1）求角C的大小；（2）若
，求△ABC的面积．
19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=
，M为AE的中点．
（1）求证：BD⊥平面AEC；
（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．
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20．（15分）已知函数
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
．
（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有
．
21．（15分）已知椭圆
（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点程；
（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．22．（15分）已知正项数列{an}满足a1=2，且（1）求证：1＜an+1＜an；（2）记
，求证：
．
．
．
在C上，求椭圆C的标准方
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2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，
，则（A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3}B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}【解答】解：由
≤0，得或
，
解得﹣1≤x＜3，
故P∩Q={x∈R|﹣1≤x＜3}，P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}．故选：D．
2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）
A．2
B．1
C．D．
【解答】解：∵=，
∴|z|=．
故选：B．
3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要
D．既不充分也不必要
【解答】解：∵在三角形中，＞0，
第5页（共20页）


）
∴sin2＞sin2，
∵cosA=1﹣2sin2，cosB=1﹣2sin2，∴cosA＜cosB，则A＞B，即，“A＞B”是“故选：C
4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α
【解答】解：由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：A．
5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能
”的充要条件，
是（）
A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）

D．y=﹣f（|x|）
【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故排除B，且当x＞0时，对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，
而y轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f（x）的图象相同，故当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），得出A，D不正确．
第6页（共20页）


故选：C
6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）
A．B．C．D．

【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示的阴影部分．
则
的取值范围是斜率k的取值范围，且kPC≤k或k≤kPA．
解得A（0，1），

解得C（，﹣）
而kPA==﹣2，kPC==．
∴k或k≤﹣2，
故选：A．


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7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A．120B．150C．240D．300
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5本不同的书分成3组，若分成1、1、3的三组，有
=10种分组方法；
若分成1、2、2的三组，有则有15+10=25种分组方法；
=15种分组方法；
②，将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况，则有25×6=150种不同的分法；故选：B．
8．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，若有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤M，则M的最小值为（）A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2，∵1≤x1＜x2＜x3＜…＜xn≤4，
∴f（1）=﹣2，f（2）=﹣3，f（4）=1，
∴|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤|f（1）﹣f（2）|+|f（4）﹣f（2）|=1+4=5，∴M≥5，故选：C
9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若则
=（）
，
第8页（共20页）


A．B．C．D．

【解答】解：∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴|由
，
由
则144+169+2×则故选：B
=
⇒12
+13=25⇒
=﹣
+
=﹣5
，
，=﹣
．
⇒5
+13
=﹣12
，则25+169+130
|=||=||=1．
=144，⇒
10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）A．

B．
C．
或
D．
或

【解答】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为2，过A作AO⊥底面BCD，连接DO并延长，交BC于E，连接AE，可知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AOE中，可得OE=∴cos
，则sin
，AE=．
，
设平面BCD与平面α所成的锐二面角为θ，∠AED=α，当平面BCD与平面ABC在α异侧时，如图，则cosθ=cos（α﹣60°）=cosαcos60°+sinαsin60°=当平面BCD与平面ABC在α同侧时，如图，则cosθ=cos[180°﹣（α+60°）]=﹣cos（α+60°）=﹣[cosαcos60°﹣sinαsin60°]=﹣（
）=
．
；
第9页（共20页）


∴平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为故选：A．
．



二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为tanα=﹣
．
，则x=﹣
，y=
，
，则sinα=
，
【解答】解：角α的终边与单位圆的交点坐标为r=|OP|=1，∴sinα==故答案为：
12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：ξ
﹣1P
x


，tanα==﹣，﹣
．
，
012
y
第10页（共20页）


若，则x+y=，D（ξ）=，
．
【解答】解：∵
∴由随机变量ξ的分布列，知：，
∴x+y=，x=，y=，
+（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=．
D（ξ）=（﹣1﹣）2×故答案为：，．
13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为4+4
．
，表面积为

【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2正方形，E到底面ABCD的距离为：EA=
=2．
=
．
，
∴棱锥的体积V=
棱锥的四个侧面均为正三角形，EB=ED=2，
第11页（共20页）


∴棱锥的表面积S=22+4×故答案为：
；4+4
．
=4+4．


14．（3分）已知等比数列{an}，等差数列{bn}，Tn是数列{bn}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=4，T13=52．
【解答】解：因为{an}为等比数列，且a3•a11═4a7，由等比数列的性质可得a3•a11=a7•a7=4a7，所以解得a7═4，因为{bn}为等差数列，且b7═a7═4，
所以由等差数列的前n项求和公式得：T13═13×（b1+b13）×=13××2b7=13b7=13×4=52
故答案为a7=4，T13=52．
15．（3分）若【
解
答
】
解
：
的展开式中常数项为60，则实数a的值是±2．
的
展
开
式
的
通
项
=
由∴
，可得
（舍），由6﹣的展开式中常数项为
=0，得r=4．
．
==60，解得a=±2．
第12页（共20页）


故答案为：±2．
16．（3分）过双曲线
上任意一点P作平行于x轴的直线，交
双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，
设双曲线上的P（m，n），则﹣=1．①
联立取A（
，解得x=，n），
，
同理可得B（﹣=（由
•
，n）．
=（﹣
﹣m，0），
﹣m，0），=﹣
，
可得（﹣m）（﹣n2=﹣
﹣m）=﹣，②
，
化为m2﹣
由①②可得=，
则e==故答案为：
=．
=．
第13页（共20页）


17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，
的取值范围是[
，]．
x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则
【解答】解：作函数f（x）=
的图象如右，
由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故=x3+
=
+x4，1＜x4≤2；由y=+x4在（1，
]递减，（
，2]递增．故x4=
取得最小值，且为2
=
，
当x4=1时，函数值为，当x4=2时，函数值为．即有取值范围是[，]．
故答案为：[
，]．


三、解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知第14页（共20页）

c2=a2+b2+ab．

（1）求角C的大小；（2）若
，求△ABC的面积．
=﹣，
【解答】解：（1）由余弦定理可知：cosC=由0＜C＜π，则C=
；
，则A为锐角，
（2）由sinA=，由C=∴cosA=
=
，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，
由正弦定理可知：=，则a===，
则△ABC的面积S=×absinC=×2×∴△ABC的面积为
．
×=，
19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=
，M为AE的中点．
（1）求证：BD⊥平面AEC；
（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）连结EC，BD，交于点O，
第15页（共20页）


∵BC=CD=2，DE=BE=1，∴EC⊥BD，∵AC⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，∴BD⊥AC，∵EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC．
解：（2）∵在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=
，M为AE的中点．
∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作AC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∴BO=
，EO=
，CO=
，，
），
∴E（0，﹣M（0，=（
，
，0），A（0，），B（，﹣
，0，0），
），平面AEC的法向量=（1，0，0），
，﹣
设直线MB与平面AEC所成角为θ，
sinθ===．
∴直线MB与平面AEC所成角的正弦值为．
第16页（共20页）




20．（15分）已知函数
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有
．
【解答】解：（1）f（x）=x3+|x﹣1|，
当x≥1时，f（x）=x3+x﹣1的导数为f′（x）=x2+1＞0，可得f（x）递增；
当x＜1时，f（x）=x3+1﹣x的导数为f′（x）=x2﹣1，由f′（x）＞0，可得x＜﹣1；由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1．综上可得，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1）；减区间为（﹣1，1）；
（2）证明：当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a）递减，在（a，1]递增，可得f（x）的最小值为g（a）=f（a）=a3+1﹣a；
．
第17页（共20页）


f（x）的最大值为f（﹣1）或f（1），
由f（﹣1）﹣g（a）﹣=a﹣﹣a3﹣1+a﹣=2a﹣a3﹣3＜0恒成立；又f（1）﹣g（a）﹣=﹣a﹣a3﹣1+a﹣=﹣a3﹣1＜0恒成立；当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]递减，
可得f（x）的最小值为g（a）=f（1）=+a﹣1=a﹣，最大值为f（﹣1）=a+，则a+≤a﹣+恒成立．综上可得当x∈[﹣1，1]时，恒有
21．（15分）已知椭圆
（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点程；
（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则|PF1|+|PF2|=2a，则则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为
；
+
=+=4=2a，
．
在C上，求椭圆C的标准方
．
（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+则
），
第18页（共20页）


|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=
=
+
=[
（
b2cos2θ+a2sin2θ）
+（
b2sin2θ+a2cos2θ
（
+
）
=（2++）≥，
∴|AB|的最小值为．

22．（15分）已知正项数列{an}满足a1=2，且．
（1）求证：1＜an+1＜an；（2）记
，求证：
．
【解答】证明：（1）∵a1=2＞1，成立，假设ak＞1成立，则有2ak﹣1＞1成立，即成立，
即ak+1＞1，an﹣an﹣1===＞0，
∴an＞an+1，∴1＜an+1＜an．（2）
=

第19页（共20页）

+
，）
]

=

=

=（an﹣an+1）•
﹣（），
∵=＜，＞2（
），）
∴原式＜2（an﹣an+1）﹣3（＜=3[（
）﹣（

）+2（
）]，）﹣（
）+（
）﹣（
）+…+（
）
∴b1+b2+b3+…+bn＜3[（﹣（=3[＜3（=3（2﹣∴
））=6﹣3
，）
]
．
第20页（共20页）


2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷 附解析

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