2017-2018年北京市101中学高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

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2017-2018学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是（）

A．k1＞k2＞k3B．k1＞k3＞k2C．k3＞k2＞k1D．k2＞k3＞k1
2．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若=，
=，
=，则下列向量中与
相等的向量是（）

A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+
3．（5分）过点（﹣l，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣5=0B．x﹣2y+7=0C．2x+y﹣1=0D．2x+y﹣5=04．（5分）已知球O与正方体各棱均相切，若正方体棱长为积为（）A．
B．2πC．4πD．6π
，则球O的表面
5．（5分）在下列命题中：①若向量②若向量③若三个向量

共线，则向量所在的直线平行；
一定不共面；共面；
所在的直线为异面直线，则向量
两两共面，则向量
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④已知是空间的三个向量y，z使得
；
，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，
其中正确的命题的个数是（）A．0
B．1
C．2
D．3
，则
6．（5分）如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=cos＜
，
＞的值为（）

A．B．0C．D．

7．（5分）如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是（）

A．B．C．D．

8．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）

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A．
B．C．D．

二、填空题共6小题，共30分．
9．（5分）若直线ax+4y﹣l=0与2x﹣5y+6=0互相垂直，则a的值为．10．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为．
11．（5分）正四面体棱长为
，则它的体积是．
12．（5分）若直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=4m﹣l与直线2x﹣3y=5平行，则m的值是．
13．（5分）如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为．

14．（5分）在如图所示的棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是；截得的平面图形中面积最大的值是．


三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且圆心在x轴上．
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（1）求直线PQ的方程；（2）圆C的方程；
（3）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
16．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．

17．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（Ⅰ）当Q的坐标为（1，0）时，求切线QA，QB的方程；（Ⅱ）求四边形QAMB面积的最小值；（Ⅲ）若|AB|=
，求直线MQ的方程．
，D是
18．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；
（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

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2017-2018学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是（）

A．k1＞k2＞k3B．k1＞k3＞k2C．k3＞k2＞k1D．k2＞k3＞k1【解答】解：直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0．
l2与l3的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l3的倾斜角，因此k2＞k3＞0．∴k1，k2，k3的大小关系是：k2＞k3＞k1．故选：D．
2．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若=，
=，
=，则下列向量中与
相等的向量是（）

A．﹣++B．++C．﹣
=
﹣+D．

﹣+
【解答】解：由题意，
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=
故选：A．
==；
3．（5分）过点（﹣l，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣5=0B．x﹣2y+7=0C．2x+y﹣1=0D．2x+y﹣5=0【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，（c≠3），∵直线过点（﹣l，3），
∴代入直线方程的﹣1﹣2×3+c=0，得c=7，
则所求直线方程为x﹣2y+7=0，故选：B．
4．（5分）已知球O与正方体各棱均相切，若正方体棱长为积为（）A．
B．2πC．4πD．6π
的正方体的每条棱都相切，
，则球O的表面
【解答】解：∵一个球与一个棱长为∴这个球的半径R=
=1
∴这个球的表面积为S=4πR2=44π×1=4π．故选：C．
5．（5分）在下列命题中：①若向量②若向量③若三个向量
共线，则向量
所在的直线平行；
一定不共面；共面；
所在的直线为异面直线，则向量
两两共面，则向量
④已知是空间的三个向量y，z使得
；
，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，
其中正确的命题的个数是（）A．0

B．1C．2D．3
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【解答】解：由于向量是可自由平移的，所以向量所在的直线平行，故命题①不正确；同样因为向量是可自由平移的，向量也可能共面，故命题②不正确；三个向量题③不正确；
由空间向量基本定理，可知，只有当三个向量们做基底，才有后面的结论，故命题④不正确．即4个命题都不正确．故选：A．
共线，不一定向量
所在的直线为异面直线，则向量
两两共面，如直角坐标系的三个基向量，它们不共面，故命
，不共面的时候，由它
6．（5分）如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=cos＜
，
＞的值为（）
，则

A．B．0C．D．

【解答】解：空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=∴∴=|=|=0，∴cos＜
，
＞=
=0．
=•
﹣=
，•（
﹣
）=﹣||）
•|×|
﹣
•

，
|×||×cos
|﹣|
|×cos
|×（|
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故选：B．
7．（5分）如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是（）

A．B．C．D．

【解答】解：由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A，光线从左向右照射得到B，
故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D，故选：D．
8．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）

A．B．C．D．

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【解答】解：如图所示，

由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧
与小圆点M转过的圆弧相等；
以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，∴∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ；大圆圆弧小圆圆弧
的长为l1=θ×1=θ，
的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，
与圆弧
长相等，
∴小圆的两段圆弧
∴点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．
点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选：A．
二、填空题共6小题，共30分．
9．（5分）若直线ax+4y﹣l=0与2x﹣5y+6=0互相垂直，则a的值为10．【解答】解：由﹣×故答案为：10．
10．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为2

=﹣1，解得a=10．
．
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【解答】解：设弦长为l；过原点且倾斜角为60°的直线为y=
x
整理圆的方程为x2+（y﹣2）2=4，圆心为（0，2），半径r=2圆心到直线的距离为则=∴弦长l=2故答案为：2
11．（5分）正四面体棱长为
，则它的体积是
．
=

=1，
；
【解答】解：如图，P﹣ABC是棱长为2的正四面体，S△ABC=
=
，
过P作PO⊥平面ABC，垂足是O，OD=PO=
=
=
==，，=
=．
∴该正四面体的体积V=故答案为：．


12．（5分）若直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=4m﹣l与直线2x﹣3y=5平行，则m的值是
．
【解答】解：由﹣3（2m2+m﹣3）﹣2（m2﹣m）=0，化为：8m2+m﹣9=0，
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解得m=﹣，1．
经过验证m=1时两条直线不平行，舍去．∴m=﹣，故答案为：
13．（5分）如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为2
cm．．

【解答】解：∵在一个60°的二面角的棱上，
有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，∴=
=（
+
）2

=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．∴CD的长|故答案为：2
14．（5分）在如图所示的棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是2积最大的值是3
．
；截得的平面图形中面
|=
=2cm．
cm．
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【解答】解：截得的三角形中面积最大是以正方体的表面正方形的对角线所构成的等边三角形，如图中的△A1C1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴A1C1=C1B=A1B=∴S△A1C1B=
，
=2
，
，
如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中MN=2GH=
，OE=
=
，
=
，
．
．
截面面积S=故答案为：


三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且圆心在x轴上．（1）求直线PQ的方程；（2）圆C的方程；
（3）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
【解答】解：（1）∵圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，
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∴直线PQ的方程为：，即x+y﹣2=0．
（2）∵圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且圆心在x轴上．∴设圆心C（a，0），则解得a=1，∴圆半径r=
∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=13．
（3）设直线l的方程为y=﹣x+m，A（x1，m﹣x1），B（x2，m﹣x2），由题意可知OA⊥OB，即
•
=0，
==
，
，
∴x1x2+（m﹣x1）（m﹣x2）=0，化简得2x1x2﹣m（x1+x2）+m2=0．（*）由
，得2x2﹣2（m+1）x+m2﹣12=0，
．
所以x1+x2=m+1，x1x2=
代入（*）式，得m2﹣12﹣m•（m+1）+m2=0，∴m=4或m=﹣3，经检验都满足判别式△＞0，∴直线l的方程为x+y﹣4=0或x+y+3=0．
16．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．

【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，
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可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，
可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．


17．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
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（Ⅰ）当Q的坐标为（1，0）时，求切线QA，QB的方程；（Ⅱ）求四边形QAMB面积的最小值；（Ⅲ）若|AB|=
，求直线MQ的方程．
【解答】解：（I）当过Q的直线无斜率时，直线方程为x=1，显然与圆相切，符合题意；
当过Q的直线有斜率时，设切线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∴圆心（0，2）到切线的距离d=解得k=﹣．
综上，切线QA，QB的方程分别为x=1，3x+4y﹣3=0．（II）S四边形QAMB=2S△MAQ=2×
∴当MQ⊥x轴时，MQ取得最小值2，∴四边形QAMB面积的最小值为（III）圆心M到弦AB的距离为设MQ=x，则QA2=x2﹣1，又AB⊥MQ，∴（x﹣）2+（解得x=3．∴Q（
，0）或Q（﹣
，0）．
x+2或y=
+2．
）2=x2﹣1，
．
=，=
．
=1，
∴直线MQ的方程为y=﹣
18．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；
，D是
（Ⅲ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．
第16页（共24页）




【解答】（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为A1B的中点．因为D是AC的中点，
所以MD是三角形AB1C的中位线，…（2分）所以MD∥B1C．…（3分）
因为MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（4分）
（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为AB=2，
，D是AC的中点．
，
，…
所以A（1，0，0），B（﹣1，0，0），（5分）所以设所以令所以由题意可知
即
，则y=2，z=3，
，
是平面A1BD的法向量，

，．
是平面A1BD的一个法向量．…（6分）
是平面ABD的一个法向量，…（7分）
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所以
所以二面角A1﹣BD﹣A的大小为（Ⅲ）解：设E（1，x，0），则设平面B1C1E的法向量所以令又
即
，则x1=3，，即
．…（8分）．…（9分）
，，


，
，解得
，
，…（12分）
所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且．…（14分）




第18页（共24页）















第19页（共24页）










第20页（共24页）






赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型：图形特征：


运用举例：
60°
60°
60
°

45°
45°
45°

1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4、C(1，－1，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；
第21页（共24页）



y
A
O
C
Bx


2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则
S1S4．
1s1

2
s2
s3
3
s4
l

3.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
A
E


B
D
C

第22页（共24页）




4.如图，已知直线y
11
x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2bxc与22
直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0。（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标。
y
E
A
D
B
C
x


5.如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，点M在线段BF上（不与点B重合），连接EM，将线段EM绕点M顺时针旋转90°得MN，连接FN．
（1）特别地，当点M为线段BF的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：NFC=°，
NF
=；BM
（2）一般地，当M为线段BF上任一点（不与点B重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN交CD于点G，求
NG
的值FM
第23页（共24页）



A
D
EG
N
B
M
F
C

6..如图，矩形AOBC中，C点的坐标为(4，3，，F是BC边上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y
k
(k>0的图像与AC边交于点E。x
(1若BF＝1，求△OEF的面积；
(2请探索：是否在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点k的值；若不存在，请说明理由
y
A
E
C
F
O
B
x


第24页（共24页）


2017-2018年北京市101中学高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

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