海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （理科） 2011.4

选择题 （共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1、已知集合，，则

A. B.

C. D. R

2．已知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则

A．10 B．16 C．20 D．24

3. 在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是　　

A． B．

C． D．

4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为23，则输入的值为

A． B．1 C． D．11

5．已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中

错误的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

6. 已知非零向量满足０，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为　　

A． B． C． D．

7.如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为

A． B． C． 3 D. 4

8．已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是

A． B． C． D．

非选择题（共110分）

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二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

9．复数 .

10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 . （用“”连接）

11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是与⊙O的交点.若，则______；若，，

则 .

12.已知平面区域，在区域内任取一点，则取到的点位于直线（）下方的概率为____________ .

13.若直线被圆所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：

与直线一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）

14．如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=， 的面积为.则的定义域为 ；的零点是 .

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，，且.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)求的面积.

16. （本小题共14分）

在如图的多面体中，⊥平面，,，，

，，，

是的中点．

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求证：；

(Ⅲ) 求二面角的余弦值.

17. （本小题共13分）

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.

(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；

(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

18. （本小题共13分）

已知函数，

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；

(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

19. （本小题共14分）

已知椭圆经过点其离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.

20. （本小题共13分）

已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个，

设， .

（Ⅰ）设数列，求；

（Ⅱ）若数列满足，求函数的最小值.

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（理）

答案及评分参考 2011．4

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9. 10. >> 11. ； 3

12. 13. 14.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15.（共13分）

解：（I）因为，, , …………………1分

代入得到， . …………………3分

因为, …………………4分

所以. …………………5分

（II）因为，由（I）结论可得： . …………………7分

因为，所以. …………8分

所以. …………9分

由得， …………………11分

所以的面积为：. ………………13分

16. （共14分）

解：(Ⅰ)证明：∵，

∴.

又∵,是的中点，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴. ……………2分

∵平面，平面，

∴平面. …………………4分

(Ⅱ) 解法1

证明：∵平面，平面，

∴，

又，平面，

∴平面. ………………………5分

过作交于，则平面.

∵平面， ∴. ………………………6分

∵，∴四边形平行四边形，

∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，

∴， ………………………7分

又平面，平面,

∴⊥平面. ………………………8分

∵平面,

∴. ………………………9分

解法2

∵平面，平面，平面，∴，，

又,

∴两两垂直. ……………………5分

以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）. …………………………6分

∴，，………7分

∴, ………8分

∴. …………………………9分

(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. …………………………10分

设平面的法向量为，∵，

∴，即，令,得. …………………………12分

设二面角的大小为，

则， …………………………13分

∴二面角的余弦值为 …………………………14分

17. （共13分）新 课标 第 一网

解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 …………………………1分

事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分

…………………………4分

(Ⅱ) 由题可知可能取值为0,1,2,3.

, ,

,. ………………8分

… ……………9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为 ……………10分

事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”

所以，. ……………13分

18. （共13分）

解：（Ⅰ）的定义域为， ………………………1分

当时，， ， ………………………2分

………………………3分

所以在处取得极小值1. ………………………4分

（Ⅱ），

………………………6分

当时，即时，在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增； ………………………7分

②当，即时，在上，

所以，函数在上单调递增. ………………………8分

（）在上存在一点，使得成立，即

在上存在一点，使得，即

函数在上的最小值小于零. ………………………9分

由（Ⅱ）可知

即，即时，在上单调递减，

所以的最小值为，由可得，

因为，所以； ………………………10分

②当，即时，在上单调递增，

所以最小值为，由可得； ………………………11分

③当，即时， 可得最小值为，

因为，所以，

故

此时，不成立. ………………………12分

综上讨论可得所求的范围是：或. ………………………13分

19. （共14分）

解：（Ⅰ）由已知可得，所以 ① ……………1分

又点在椭圆上，所以 ② ……………2分

由①②解之，得.

故椭圆的方程为. ……………5分

(Ⅱ) 当时，在椭圆上，解得，所以. ……6分

当时，则由

消化简整理得：，

③ ……………8分

设点的坐标分别为，则

. ……………9分

由于点在椭圆上，所以. ……………10分

从而，化简得，经检验满足③式. ………11分

又

………………………12分

因为，得，有，

故. ………………………13分

综上，所求的取值范围是. ………………………14分

(Ⅱ)另解：设点的坐标分别为，

由在椭圆上，可得 ………………………6分

—整理得 ………………………7分

由已知可得，所以 ……………………8分

由已知当,即 ………………………9分

把代入整理得 ………………………10分

与联立消整理得 ……………………11分

由得，

所以 ……………………12分

因为，得，有，

故. ………………………13分

所求的取值范围是. ………………………14分

20. （共13分）

解：（1）根据题设中有关字母的定义，

（2）一方面，，根据“数列含有项”及的含义知，

故，即 ① …………………7分

另一方面，设整数，则当时必有，

所以

所以的最小值为. …………………9分

下面计算的值：

…………………12分

∵， ∴

∴最小值为. …………………13分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.

2011年海淀高三年级一模数学（理）试题及答案