对全同性原理的讨论

新疆师范大学数理信息学院06物理实验班

作者姓名：麦麦提依明.吐孙

指导教师：艾尔肯

2010年5月4日

对全同性原理的讨论

麦麦提依明.吐孙

新疆师范大学数理信息学院06物理实验班

摘 要：本文针对在量子力学中比较重要的原理—全同性原理的重新讨论，，所得结果更合理更具普遍意义；不仅讨论经典力学的粒子区分性，而且讨论在量子力学中的全同粒子的不可区分性；对全同性原理介绍了一种简单的描述方法。怎么理解“全同性原理和交换对称性”的关系：最后讨论在量子力学中全同性原理的限制。

关键词：全同粒子 ，经典粒子，波函数，交换对称性。

对全同性原理的讨论

引言

由普朗克发轫的量子物理学到20世纪30年代即已获得了巨大的成功。量子力学的最基本的概念或最基本原理是什么?众多物理大家各执一端。如玻尔坚信互补原理是量子力学最要紧的概念,海森伯认为他提出的不确定原理是根本的,推翻它就不会有量子力学;狄拉克曾把坐标与动量之间的不对易关系当作量子力学第一基本假设,但1970年他却认为概率幅这个概念也许是量子力学最基本的概念。现行的量子力学教材,多将该理论建立在薛定谔方程等五条公设之上,其中第五条是全同性原理。

1、全同粒子的一般描述

自然界中存在各种各样的粒子，例如，电子，质子，中子，光子，介子，超子，重子，轻子，中微子……同类核原子，分子……

同一种粒子具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷，自旋，磁距，寿命等。事实上人民正是按照这些内禀属性来对粒子进行分离的。在量子力学中，把属于同一类的粒子称为全同(identical)粒子，也就是说固有性质相同的粒子称为全同粒子。固有性质指的是：质量、电荷、自旋…同位旋、宇称、奇异数……

应当强调，粒子全同性概念与粒子态的量子化有本质的联系。如果没有太的量子化，就谈不上全同性。在经典力学中，由于粒子的性质和状态（质量，形状，大小等）可以连续变化，谈不上两个粒子真正全同。在量子力学中，由于太的量子化，两个量子态要么完全相同，要么很不相同，中间无连续过渡。例如，两个银原子，不管它们是经过什么工艺过程制备出来，通常条件下都处于基态，都用相同的量子态来描述，所以我们说它们是全同的。

2、经典粒子的区分性与全同粒子的不可区分性

在全同粒子组成的体系中,交换两个粒子的状态体系的微观状态不变,这就是全同性原理,这一结论又称为全同粒子的不可分辨性。

全同粒子的不可分辨性,被一般文献[1、2、3]解释为波函数的重叠,由于波函数可以给出粒子的几率分布,如果两个全同粒子的波函数发生重叠,粒子就不可分辨了,这样的解释似乎是很自然的,但是仔细分析就会发现问题。

假想在一个容器中有两个没有相互作用的全同粒子,这是一个非定域问题,假设两个粒子同时逐渐变大,从微观粒子变成宏观粒子,那么它们就从不可分辨变成可分辨的了。

如果按波函数重叠来理解,从不可分辨到可分辨应该是粒子的波函数由重叠到不重叠的过程,但随着粒子的逐渐增大,两个粒子的波函数始终重合在一起,只是波长越变越短,因此一般文献的解释是有问题的。

由于交换两个非定域系统的全同粒子从整体上看不出来,熵是混乱程度,这意味着混乱程度相同,即熵相同。因此系统的微观状态应该从整体上即从宏观上考虑,交换两个非定域系统的全同粒子,系统的微观状

态不变。

经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分，因各自有确定轨道。

微观粒子体系，因为运动具有波粒二象性，无确定轨道，在位置几率重迭处就不能区分是哪个粒子。

由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置 等），不会引起系统状态的改变。

显然，对于全同粒子体系，哈密顿中的都相同，也都有相同的组成，但是在量子力学中，全同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。

例如：在电子双缝衍射实验中，考察两个电子，无法判别哪个电子通过哪条缝，也无法判别屏上观察到的电子，哪个是通过哪条缝来的，也无法判别哪个是第一个电子，哪个是第二个电子……

3、交换对称性与全同性原理的关系

全同性原理: 当一个全同粒子体系中两个粒子交换不改变体系的状态

对全同粒子体系的波函数引入交换算符，它的作用是把波函数中的第i个粒子和第j个粒子的坐标交换位置：

那么全同性原理告诉我们：这样交换以后的状态与原来的状态是不可区别的，所以，按照量子力学的基本原理

而

所以

解得

也就是说

若 则称为交换对称波函数，

若则称为交换反对称波函数。

交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。它决定了粒子所服从的统计。

也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。

这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变的这点出发,很易得到证明.

全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的

设t时刻波函数是对称的：

到t+dt时刻,

因为

所以，若在t 时刻是对称的，则 仍保持为对称。同样可以证明全同粒子体系的反对称波函数的反对称性不随时间改变.。

4、举例说明在量子力学中全同性原理的限制

为了说明全同性原理对统计产生的影响，我们来讨论同时投 两枚分币的问题。每个分币有两面，代表两种可能的状态，分别以，表示。没有全同性原理的限制，系统可能的状态有

总共四种，每种出现的概率为1/4。有一个分币为 有一个分币为 的概率则为1/2。这相当于经典力学的情形。在量子力学中，由于全同性原理，可能态的数目将减小。对于费米子，由于反对称的要求，系统只能处于 的态。

及 都不存在。也就是说，由于泡利原理的限制，系统只有一种可能状态。而且在这一状态中，我们不能指出哪一个分币为 ，哪一个分币为 。对于玻色子，可能的态有三种： ，每种出现的概率为1/3。由此我们看到，由于交换不变性，玻色子出现在不同态上的概率减少，出现在相同态的概率增加，这一现象称为爱因斯坦凝聚。

5、总结

全同性原理是对第二条假设的补充。它指出：一个全同粒子系的运动状态波函数不仅要求遵从这个体系的薛定谔方程，而且必须具有相应的粒子交换对称性。

参考文献：

[1] 曾瑾言 量子力学 卷Ⅰ 【M】 北京：科学出版社，2007

[2] 曾瑾言 量子力学教程 【M】 北京：科学出版社，2004

[3] 鹏程 量子力学 【M】 北京：高等教育出版社，2003

毕业论文（06物理实验班 麦麦提依明 吐孙）