福州市2012—2013学年第一学期高三期末质量检查

数学（文科）试卷

（满分：150分；完卷时间：120分钟）

参考公式：

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．i是虚数单位，复数在复平面上所对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．如图设全集U为整数集，集合A={x∈N|1≤x≤8}，B={0，1，2}，则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )

A．3 B．4 C．7 D．8

3．设命题p:函数y=cos2x的最小正周期为；命题q:函数y=sinx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是( )

A．p为真 B． p为真 C．pq为真D．pq为真

4．对于有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为( )

A．210 B．210.5 C．211.5 D．212.5

5．“”是“存在唯一实数，使得”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数y= (1-x)的大致图象是( )

7．△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的值是( )

A．300 B．450 C．600 D．900

8．在区间[0，]上随机取一个数x ,则事件“sinx+cosx=”发生的概率为( )

A． B． C． D．

9．若运行如右图所示相应的程序，则输出S的值是（ ）

A． B． C． D．

10．已知函数f(x)=Msin()(M>0, >0,| |<)半个周期内的图象如 图所示，则函数f(x)的解析式为( )

A．f(x)=2sin(x+) B．f(x)=2sin(2x-)

C．f(x)=2sin(x-) D．f(x)=2sin(2x+)

11．若点(m，n)在第一象限，且在直线2x+3y=5上，则的最小值为( )

A． B． C．4 D．5

12．能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分成相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是( )

A．f(x)=x3 B．f(x)=tan C．f(x)= D．f(x)=ln[(4-x)(4+x)]

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

13．以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为 。

14．若函数f(x)=，则函数f(x)的零点为 。

15．已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则的最大值是 。

16．已知点A(，)，B(，)是函数y=的图象上任意不同两点，依据图象可知线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立。运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1) ，B(x2，sinx2)是函数y=sinx(x∈(0,)) 的图象上任意不同两点，则类似地有 成立。

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}中，a1=1，且点(an,an+1)在函数y=3x+2的图象上(n∈N*)，

(Ⅰ)证明：数列{ an+1} 是等比数例；

(Ⅱ)求数列{an}的前n 项和。

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=2sinxx+2x- (其中>0)；且函数f(x)的最小正周期为，

()求的值；

(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调区间。

19．（本小题满分12分）

某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：

为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人。

() 求三个社团分别抽取了多少同学；

()若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知 “剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。

20．（本小题满分12分）

设椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，PF1F2的周长为16。

()求椭圆C的方程；

()求过点(3，0)且斜率为的直线l被椭圆C所截线段中点坐标。

21．（本小题满分12分）

如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块OABC，其中OAC是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AC相切的直路l (宽度不计)，切点为M，并把该地块分为两部分，现以O为坐标原点，以边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AC满足函数y=x2+2(0≤x≤2)的图象，且点M到边OA的距离为t(0

()当t=时，求直路l所在的直线方程；

()当t为何值时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积取到

最大值，最大值是多少？

22．（本小题满分14分）

已知函数f(x)=lnx+bx2的图象过点(1，0)

()求f(x)的解析式；

()若f(x)≥(t为实数)恒成立，求t的取值范围；

()当m>0时，讨论F(x)= f(x)+在区间(0，2)上极点的个数。

参考答案及评分意见

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

13． 14． 1或0 15．3 16．

三、解答题（本大题共6小题，共74分.）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因点在直线的图象上，，

令，故只需证是等比数列， 2分

，， 4分

数列是以为首项，3为公比的等比数列.

即数列是以为首项，3为公比的等比数列. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列是以为首项，3为公比的等比数列，

∴， 8分

9分

所以数列的前n项和

10分

. 12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为， 2分

因为，函数周期为 3分

所以，所以 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数. 8分

由，；得

由；得

故函数的增区间为[];

减区间为[]，. 12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设抽样比为，则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为． 1分

则由题意得，解得． 2分

故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为，，． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“剪纸”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F． 6分

则从这6位同学中任选2人，不同的结果有

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，

{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，

{C，D}，{C，E}，{C，F}，

{D，E}，{D，F}，

{E，F}，

共15种． 8分

其中含有1名女生的选法为

{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，

{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，

共8种； 10分

含有2名女生的选法只有{A，B}1种．

故至少有1名女同学被选中的概率为=． 12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题设得，解得，所以，故所求的方程为. 6分

（Ⅱ）解法一、过点且斜率为的直线方程为，……………………… 8分

将之代入的方程，得

，即. 9分

因为在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点， 10分

因为，所以线段中点的横坐标为，

纵坐标为. 11分

故所求线段的中点坐标为. 12分

解法二、过点且斜率为的直线的方程为， 8分

因为在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，

设两交点的坐标分别为，中点M的坐标为

则有 9分

由（1）-（2）得，

即

得，又， 11分

所以

故所求线段的中点坐标为. 12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵，∴，

∴过点M的切线的斜率为, 2分

所以过点M的切线方程为，即；

当时，切线的方程为……………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，切线的方程为：，

令，得．故切线与线段AB交点为F，…………5分

令，得．故切线与线段BC交点为G……………………6分

地块OABC在切线右上部分的区域为一三角形，设其面积为，

∴， 8分

10分

∵

∴当时为单调递增函数；当时为单调递减函数，

∴当时，的最大值为． 11分

∴当点M到边OA距离为m时，

地块OABC在直路不含游泳池那侧的面积取到最大，最大值为m2． 12分

22.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）函数的图象过定点（1，0），……………………………………1分

把点（1，0）代入得，

所以，…………………………………………………………………………………2分

（Ⅱ）恒成立，

即恒成立，得，因为，

所以， 3分

令， 4分

当时，，所以在为减函数； 5分

当时，，所以在为增函数； 6分

的最小值为，故； 7分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，所以

所以

又，由得，，． 9分

（1）当时，得，，在（0，2）为增函数，无极值点； 10分

（2）当且时，得且，根据的变化情况检验，可知有2个极值点； 12分

（3）当或时，得或时，根据的变化情况检验，可知有1个极值点； 13分

综上，当时，函数在（0，2）无极值点；当或时，有1个极值点；当且时，有2个极值点． 14分

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