《函数的奇偶性》教学案例

一、教学目的

1、 理解函数奇偶性的定义，能利用定义判断或验证给定函数的奇偶性，

2、初步运用奇偶性，如求函数值、求函数解析式、作函数图象等

3、体会具有奇偶性的函数图象的对称性，感受数学的对称美，渗透数形结合的数学思想

二、教学重点、难点

重点：奇偶性的定义，奇偶性函数的图象特征，奇偶性的判定

难点：单调性的判定及应用

三、教学过程

（一）新课引入

我们知道，函数的单调性反应在图象上就是图形的上升与下降趋势；函数的最大值最小值在图象上看也就是它的最高点与最低点。那么函数的奇偶性又是什么呢？我们一起来观察函数，的图象。

（二）新课——函数的奇偶性

1、对于的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于轴对称，是轴对称图形。对于的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于原点对称，是点中心对称图形。

2、那么如何利用函数值描述这种对称性呢？求下表中的函数值并比较

对于，由于图形关于轴对称图形，故有；

对于，由于图形关于原点对称，故有。

3、事实上，我们取点，，如图所示，

如果它们关于轴对称，则有，

如果它们关于原点对称，则有，

4、定义：一般地，对于函数的定义域内的任一个，

如果都有，则称函数是偶函数；所以偶函数的图象关于轴对称。

如果都有，则称函数是奇函数。奇函数的图象关于原点对称。

5、适时巩固

（课本，P39，思考）判断函数的奇偶性并补全图象

（课本，P40，练习）已知函数的奇偶性补全图象

（三）例题——判断函数的奇偶性

1、（课本，P39，例5）判断下列函数的奇偶性

（1） （2）

（3） （4）

设计说明：巩固函数奇偶性的概念，培养学生的自学能力

分析：①先求定义域，再求，，比较二者是否相等或相反，结论，②由学生阅读课本自学，③强调解题格式

解：（格式）（1）函数的定义域为，

又， ，

是偶函数

2、（补充）判断下列函数的奇偶性

（1） （2）

（3） （4）

（5）

设计说明：适当提高，让学生感受函数奇偶性的各种不同情形及巩固判断方法

分析：对于（1）（2），由于定义域关于原点不对称，存在无意义的情形，对于（3）可举特例，得到非奇非偶的类型；对于（4）（5），先求定义域，适当化简解析式后，比较得出奇偶性，对于既是奇又是偶的函数，其解析式为，而由定义域不同可得不同函数

解：（略）

3、（补充）已知是偶函数，且定义域为，求的值。

设计说明：让学生明确函数的奇偶性是对于整个定义域而言的，明确二次函数为偶函数的条件

分析：奇偶性的前提是定义域要关于原点对称，理解对定义域内的任一个恒成立，另外也可注意二次函数图象即抛物线的对称轴为轴。

解：，

（四）提高——奇偶性运用

（思考）已知是奇函数，当时，，求当时，的表达式。

设计说明：奇偶性的具体运用，进一步理解，理解当自变量取一对相反数时，函数值的相等与相反

分析与提示：（1）先求，，

（2）再求，，，发现什么？

（3）当时，，，据奇函数

解：当时，，

（作图验证一下）

（五）小结——构建知识网络

（1）奇偶性的定义是什么？其图象有什么性质？

（2）判断奇偶性的前提与步骤是什么？

（3）奇偶性的运用，求值，作图，求解析式

（六）作业——巩固与反馈

1、课本，P43，习题A组，第6题

2、已知函数对一切都有，①求证：是奇函数，②若，试用表示的值。

五、教学说明

“函数奇偶性”是一个重要的数学概念，其研究必须经历从直观到抽象，从图形语言到符号语言，整节课可让学生通过自主探究活动来体验数学概念的形成，学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

教学中努力体现出学生的思维过程：（1）由学生观察图象的对称性，从直觉上认识奇函数与偶函数的概念。（2）通过表格中数据（函数值）的相等相反关系，得出对称性的本质是坐标的关系。（3）再以精确的数学语言来定义函数的奇偶性

教学要求是：让学生掌握利用定义进行判断奇偶性的基本方法，理解定义域的要求，理解图象的对称性，了解奇偶性的四种类型，并初步运用奇偶性。

教学方法上，本节致力于展示概念是如何生成的，在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力。体现了教师是用教材教，而不是教教材。初步学会如何由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，并渗透数形结合法思想。本节努力实现新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。

六、教学反馈

（略）

函数的奇偶性教学案例