江苏省无锡市江阴市南菁中学中考数学三模试卷(含解析)【含解析】

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2016年江苏省无锡市江阴市南菁中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置） 1．﹣2的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C．
D．
2．计算（﹣x）2•x3所得的结果是（ ）
5566A．x B．﹣x C．x D．﹣x
3．下列图案不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D．
4．方程2x﹣1=3x+2的解为（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3 5．二次函数y=x2+2x﹣5有（ ）
A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣6 6．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积为 （ ） A．12π B．21π C．24π D．42π
7．如图是由6个相同的小正方体搭成的立体图形，若由图①变到图②，则（ ）

A．主视图改变，俯视图改变 B．主视图不变，俯视图改变 C．主视图不变，俯视图不变 D．主视图改变，俯视图不变
8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）

A．（﹣3，3） B．（3，2） C．（0，3） D．（1，3）
9．对于每个正整数n，抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2016B2016|的值是（ ） A．
B．
C．
D．

1
10．如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（ ）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡相应的位置上．）
211．分解因式：x﹣16= ． 12．函数中自变量x的取值范围是 ．
13．今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为 ．
14．一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴交点坐标是 ．
15．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
16．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于 ．

17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x方程是 （不需化简和解方程）．

18．在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），以OA为直径在第二象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，作点A关于点B的对称点D，过点D作x轴垂线，分别交直线OB、x轴于点E、F，点F为垂足，当DF=4时，线段EF= ．

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三、解答题：（本大题共10小题，共84分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上．） 19．计算与化简：
（1）tan60°﹣（a2+1）0+|﹣9| （2）÷．
20．解方程与不等式组： （1）解方程组
（2）解不等式组．
21．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE=OF． （1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

22．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

23．国家规定体质健康状况分为优秀、良好、合格和不合格四种等级．为了了解某地区10000名初中学生的体质健康状况，某校数学兴趣小组从该地区七、八、九年级随机抽取了共500名学生数据进行整理分析，他们对其中体质健康为优秀的人数做了以下分析：

3

（1）写出本次随机抽取的七年级人数m= ； （2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估计该地区10000名初中学生体质健康状况为优秀的人数． 24．甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球．甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球．从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍． （1）求乙盒中蓝球的个数；
（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率．
25．无锡某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2， ①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ． ②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．
与x轴交于（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．

4

27．如图，直线y=x+b（b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，点C（1，0），过点C作垂直于x轴的直线l，在直线l上取一点P，满足PA=PB，点A关于直线l的对称点为点D，以D为圆心，DP为半径作⊙D． （1）直接写出点A、D的坐标；（用含b的式子表示） （2）求点P的坐标；
（3）试说明：直线BP与⊙D相切．

28．已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；
（3）当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．



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2016年江苏省无锡市江阴市南菁中学中考数学三模试卷
参考答案与试题解析


一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置） 1．﹣2的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C．
D．
【考点】绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：﹣2的绝对值是2， 即|﹣2|=2． 故选：A．

2．计算（﹣x）2•x3所得的结果是（ ）
5566A．x B．﹣x C．x D．﹣x
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后直接选取答案．
23235【解答】解：（﹣x）x=x•x=x． 故选A．

3．下列图案不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D．

4．方程2x﹣1=3x+2的解为（ ） A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3 【考点】解一元一次方程．
【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程2x﹣1=3x+2， 移项得：2x﹣3x=2+1， 合并得：﹣x=3． 解得：x=﹣3， 故选D．

6


5．二次函数y=x2+2x﹣5有（ ）
A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣6 【考点】二次函数的最值．
【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可． 【解答】解：y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6， ∵a=1＞0，
∴当x=﹣1时，二次函数由最小值﹣6． 故选D．

6．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积为 （ ） A．12π B．21π C．24π D．42π 【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×4÷2=12π． 故选A．

7．如图是由6个相同的小正方体搭成的立体图形，若由图①变到图②，则（ ）

A．主视图改变，俯视图改变 B．主视图不变，俯视图改变 C．主视图不变，俯视图不变 D．主视图改变，俯视图不变 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，俯视图是从几何体的上面看所得到的图形，分别画出两个图形的主视图和俯视图可直接得到答案． 【解答】解：如图所示：
，
根据图形可得主视图不变，俯视图改变， 故选：B．

7


8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）

A．（﹣3，3） B．（3，2） C．（0，3） D．（1，3） 【考点】坐标确定位置．
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）． 故选：D．



9．对于每个正整数n，抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2016B2016|的值是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】通过解方程（n+n）x﹣（2n+1）x+1=0得A、B点的坐标，从而得到|AnBn|=﹣再表示计算出|A1B1|、|A2B2|、|A2016B2016|，然后计算它们的和即可． 【解答】解：当y=0时，（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1=0，解得x1=，x2=标为（，0），（则|AnBn|=﹣，0）， ，
﹣﹣， =1﹣，则A、B点的坐22，所以|A1B1|=1﹣；|A2B2|=﹣；|A3B3|=﹣；|A2016B2016|=所以|A1B1|+|A2B2|+…+|A2016B2016|=1﹣+﹣+﹣+…+=．

8
故选D．

10．如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（ ）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【考点】反比例函数的性质．
【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．
【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条， 故选A．



二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡相应的位置上．） 11．分解因式：x2﹣16= （x﹣4）（x+4） ． 【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：x2﹣16=（x+4）（x﹣4）．

12．函数中自变量x的取值范围是 x≥2 ． 【考点】函数自变量的取值范围．

9
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】解：依题意，得x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2．

13．今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为 4.1×107 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
n【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：41 000 000=4.1×107，
7故答案为：4.1×10．

14．一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴交点坐标是 （2，0） ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由于x轴上点的纵坐标为0，由此利用函数解析式即可求出横坐标的值． 【解答】解：令y=0， 则y=﹣2x+4=0， 解得：x=2，
故图象与x轴交点坐标是（2，0）．

15．命题“对顶角相等”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）． 【考点】命题与定理．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断． 【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题． 故答案为假．

16．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于 64 ．

【考点】菱形的性质．
【分析】先根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB=AD=CD=BC，再由直角三角形的性质求出AD的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，AB=AD=CD=BC． ∵H为AD边中点，OH=8， ∴AD=16，
∴菱形ABCD的周长=4AD=64．

10
故答案为：64．

17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x方程是 （x﹣10）（﹣2x+60）=150 （不需化简和解方程）．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；函数的图象． 【分析】设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b，然后用销售量×单件利润=总利润即可列出方程．
【解答】解：设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）， ∴W=（x﹣10）（﹣2x+60）， 当销售利润为150元时，可得：（x﹣10）（﹣2x+60）=150， 故答案为：（x﹣10）（﹣2x+60）=150．

18．在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），以OA为直径在第二象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，作点A关于点B的对称点D，过点D作x轴垂线，分别交直线OB、x轴于点E、F，点F为垂足，当DF=4时，线段EF= ．

【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
【分析】连接OD，则OD=OA=5，在直角三角形ODF中，可求出OF=3，故AF=2，在直角三角形ADF中由勾股定理求出AD，由相似三角形的判定定理找出△DBE∽△DFA，结合三角形相似的性质找出，在等腰三角形AOD中可得出AB=DB=AD，套用DE=得出DE值，再由EF=DF﹣DE得出结论．

11
【解答】解：连接OD，如图所示．

∵点A、点D关于B点对称， ∴OD=OA=5．
在Rt△ODF中，OD=5，DF=4，∠DFO=90°， ∴OF==3，
∴AF=OA﹣OF=2． ∵AO为⊙C的直径， ∴∠ABO=90°，
∴∠DBE=90°=∠DFA， 又∵∠BDE=∠FDA， ∴△BDE∽△FDA，
∴．
在Rt△ADF中，AF=2，DF=4，∠AFD=90°， ∴AD==2．
∵OA=OD，且OB⊥AD， ∴AB=DB=AD=∴DE=，
=，
∴EF=DF﹣DE=． 故答案为：．


三、解答题：（本大题共10小题，共84分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上．） 19．计算与化简：
（1）tan60°﹣（a2+1）0+|﹣9| （2）÷．
【考点】分式的乘除法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；

12
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=﹣1+9=+8； （2）原式=•=1．


20．解方程与不等式组： （1）解方程组
（2）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组． 【分析】（1）利用消元法，由①﹣②消除x从而求得x，然后将x的值代入方程即可求解； （2）分别解得不等式①②，然后求得他们的公共部分即可求解． 【解答】解：（1）∵方程组∴由①﹣②得：3y=﹣6，解得y=﹣2， ∴把y=﹣2代入①得：x=1，
∴方程组的解为：，
，
（2）∵不等式组，
∴解①得：x＜3，解②得x≥﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．

21．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE=OF． （1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△BOE≌△DOF即可；
（2）先证明四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等即可得出四边形EBFD是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，

13
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：如图所示： ∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形．



22．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算． 【分析】（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD，即可求得答案． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC=90°， ∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB， ∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°， 即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上， ∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥BD于点F，

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在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=， ∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°， ∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．

23．国家规定体质健康状况分为优秀、良好、合格和不合格四种等级．为了了解某地区10000名初中学生的体质健康状况，某校数学兴趣小组从该地区七、八、九年级随机抽取了共500名学生数据进行整理分析，他们对其中体质健康为优秀的人数做了以下分析：

（1）写出本次随机抽取的七年级人数m= 200 ； （2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估计该地区10000名初中学生体质健康状况为优秀的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；折线统计图． 【分析】（1）根据七年级体质健康为优秀的人数以及所占的百分比求出七年级人数m； （2）求出九年级体质健康为优秀的人数，补全条形统计图； （3）求出3个年级的优秀率，计算即可． 【解答】解：（1）本次随机抽取的七年级人数m=38÷19%=200人， 故答案为：200；
（2）本次随机抽取的八年级人数为：26÷26%=100人， 则本次随机抽取的九年级人数为：500﹣200﹣100=200人， 则九年级体质健康为优秀的人数为：200×28%=56人， 补全条形统计图如图： （3）×10000=2400人．

15
答：估计该地区10000名初中学生体质健康状况优秀人数是2400人．



24．甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球．甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球．从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍． （1）求乙盒中蓝球的个数；
（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率． 【考点】列表法与树状图法；分式方程的应用；概率公式． 【分析】（1）由甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球，即可求得从甲盒中任意摸取一球，摸得蓝球的概率，又由乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球，可设乙盒中有x个篮球，则可求得从乙盒中任意摸取一球，摸得蓝球的概率，根据从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍，列方程即可求得答案；
（2）采用列表法或树状图法，求得所有可能的结果与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：（1）设乙盒中有x个蓝球，则从乙盒中任意摸取一球，摸得蓝球的概率为：P1=，
从甲盒中任意摸取一球，摸得蓝球的概率P2=；
∵从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍．
依题意得： =，
解得：x=3，
经检验：x=3是原方程的根， ∴乙盒中蓝球的个数是3个；

（2）列表得： 乙
白 黄1 黄2 甲 白1 白1，白 白1，黄1 白1，黄2 白2 白2，白 白2，黄1 白2，黄2 黄 黄，白 黄，黄1 黄，黄2 蓝 蓝，白 蓝，黄1 蓝，黄2 ∴可能的结果有24，其中均为蓝球的有3种，
蓝1 白1，蓝1 白2，蓝1 黄，蓝1 蓝，蓝1 蓝2 白1，蓝2 白2，蓝2 黄，蓝2 蓝，蓝2 蓝3 白1，蓝3 白2，蓝3 黄，蓝3 蓝，蓝3
16
∴从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，这两球均为蓝球的概率为=．


25．无锡某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据：月销售量=原销售量+50×，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售，列一元一次不等式组求解即可得x的取值．
（3）根据：总利润=每台利润×销售量，列出函数关系式，将函数关系式配方，即可求出最大w．
【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台， 则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，
化简得：y=﹣5x+2200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则，
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200；

（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200）， 整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000． ∵x=320在300≤x≤350内， ∴当x=320时，最大值为72000，
答：售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．

26．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2， ①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= 1 ，d（B，⊙O）= 3 ． ②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．

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（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．

【考点】圆的综合题． 【分析】（1）①连接OB，如图1①，只需求出OA、OB就可解决问题； ②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，可用面积法求出OH，然后根据条件建立关于b的方程，然后解这个方程就可解决问题；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．易求出点D、E的坐标，从而可得到OD、OE，然后运用三角函数可求出∠ODE，然后分三种情况（①点C在点D的左边，②点C与点D重合，③点C在点D的右边）讨论，就可解决问题． 【解答】解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1①， ∵⊙O的半径为2，点A（0，1）， ∴d（A，⊙O）=2﹣1=1． ∵B（4，3）， ∴OB==5，
∴d（B，⊙O）=5﹣2=3． 故答案为1，3； ②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②， ∴P（﹣b，0），Q（0，b）， ∴OP=|b|，OQ=|b|， ∴PQ=|b|．
∵S△OPQ=OP•OQ=PQ•OH，

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∴OH==|b|．
∵直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=， ∴|b|=2+=，
∴b=±4；

（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2． ∵点D、E分别是直线y=﹣与x轴、y轴的交点，∴D（4，0），E（0，），
∴OD=4，OE=， ∴tan∠ODE==，
∴∠ODE=30°．
①当点C在点D左边时，m＜4． ∵xC=m， ∴CD=4﹣m，
∴CN=CD•sin∠CDN=（4﹣m）=2﹣m． ∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜， ∴0＜2﹣m＜+1，
∴1＜m＜4；
②当点C与点D重合时，m=4． 此时d（DE，⊙C）=0．
③当点C在点D的右边时，m＞4．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜， ∴m﹣4＜+1， ∴m＜ ∴4＜m＜．
综上所述：1＜m＜．

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27．如图，直线y=x+b（b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，点C（1，0），过点C作垂直于x轴的直线l，在直线l上取一点P，满足PA=PB，点A关于直线l的对称点为点D，以D为圆心，DP为半径作⊙D． （1）直接写出点A、D的坐标；（用含b的式子表示） （2）求点P的坐标；
（3）试说明：直线BP与⊙D相切．

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【考点】圆的综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理；切线的判定． 【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0可求出点A的坐标，然后根据对称性可求出点D的坐标；
（2）易证直线OP是线段AB的垂直平分线，从而可得直线OP的解析式，再由点P的横坐标为1就可求出点P的坐标；
（3）要证直线BP与⊙D相切，只需证∠DPB=90°，只需证DP2+BP2=DB2，或证A、B、D三点共圆．
【解答】解：（1）∵点A是直线y=x+b与x轴的交点， ∴A（﹣b，0），
∵点C与点D关于直线l对称， ∴AC=DC，
∴xD﹣1=1﹣（﹣b）， ∴xD=b+2， ∴D（b+2，0）；

（2）∵A（﹣b，0），B（0，b）， ∴OA=OB． 又∵PA=PB，
∴点O、P在线段AB的垂直平分线上，即直线OP垂直平分线段AB． ∵△AOB是等腰直角三角形，
∴直线OP是二、四象限的角平分线，即直线OP的解析式为y=﹣x． 又∵直线l过点（1，0），且直线l⊥x轴， ∴P（1，﹣1）；

（3）法一：根据勾股定理可得： 2222222DB=（b+2）+b，DP=（b+2﹣1）+1，BP=（b+1）+1， ∴DP2+BP2=DB2， ∴∠BPD=90°．
又∵DP是⊙D的半径， ∴直线BP与⊙D相切． 法二：∵PA=PB=PD，
∴点A、B、D在以点P为圆心，PA为半径的圆上， ∴∠DPB=2∠BAD=2×45°=90°． 又∵DP是⊙D的半径，

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∴直线BP与⊙D相切．



28．已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；
（3）当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．

【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2，然后将（0，1）代入可求得a的值，从而可求得二次函数的表达式；
（2）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC、CN，由勾股定理可知HC2=CN2﹣CH2=BC2﹣CH2，依据两点间的距离公式可求得HN=2，结合垂径定理可求得MN的长；
（3）分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，然后依据相似三角形的对应边成比例可求得AM的距离，从而可求得点M的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2． ∵将（0，1）代入得：4a=1，解得a=， ∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2．
（2）MN的长不发生变化．
理由：如图1所示，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC、CN．

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设点C的坐标为（a，）．
∵CH⊥MN， ∴MH=HN．
∵HN2=CN2﹣CH2=CB2﹣CH2， ∴HN2=[2﹣]2+（a﹣2）2﹣[]2=4．∴HN=2． ∴MN=4．
∴MN不发生变化． （3）如图2所示：

①当点C与点A重合时．
∵MN经过点C，
∴MN为圆C的直径． ∴MC=2．
∵点C（2，0）， ∴M（0，0）． ②如图3所示：

∵△ABM∽△ANB，

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∴，即AB2=AM•AN．
设AM=a，则4=a（a+4），解得：a1=﹣2+2，a2=﹣2﹣2（舍去），
又∵点A（2，0），
∴2+（﹣2+2）=2． ∴点M的坐标为（2，0）． 如图4所示：

∵△ABN∽△AMB， ∴AB2=AN•AM．
设AM=a，则4=a（a﹣4），解得：a1=2+2，a2=2﹣2（舍去）．
又∵点A（2，0），
∴2﹣（2+2）=﹣2． ∴点M的坐标为（﹣2，0）．

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江苏省无锡市江阴市南菁中学中考数学三模试卷(含解析)【含解析】

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