柯西不等式的小结

浙江省余姚中学 徐鹏科 315400

柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究中一个非常重要的不等式，普通高中数学新课程把它列入选修内容，然而对于浙江等省份而言，又是高考报考第一类大学的加试内容。因此对其作一小结很有必要，通过几年的教学与实践，应该说把握这块知识已不是困难的事。

新课程选修４-５中，施行类比的数学思想方法得到的柯西不等式一般形式为：

设是实数，则

当且仅当或存在一个实数使时等号成立。课本提供的证时方法是构造函数，利用非负性来完成不等式的证明。笔者认为，课本从二维向量类比到三维向量后得到了三维形式的柯西不等式，如果再增加从三维向量到维向量的类比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，这是我们作为教师应该想到的地方。在这里必须指出，大多学生在学习柯西不等式时会遇到的困难不少，不等式形式的记忆，不等式应用的灵活性，会使学家生置身于云里雾里。笔者在教学中为学生记忆方便，编了如下的顺口溜：“大端括号乘括号，小端括号添平方，末平方的平方和，已平方的和串积，莫忘何时能相等。”实践证明，效果是明显的。

柯西不等式是一个公式，公式总涉及到应用的问题，公式的应用不外乎“顺用”、“逆用”、“变用”这三种用法，下面来举例说明，由于篇幅有限每道例题只作分析，读者阅后自证较易。

首先要掌握“顺用”，这里指的是从大到小的应用

例1、 设，且。

求证：

分析：根据柯西不等式的特征和，要证的不等式可变形为，左边第一括号中的可看成个1的和，再把余下的1代掉即可得需证不等式，即证：

，此即柯西不等式，显然成立。

其次要掌握“逆用”，这里指的是从小到大的应用。

例2 已知求的最小值.

分析：

当且仅当时等号成立

本题的解题过程告诉我们，柯西不等式中的三个括号，如果其中两个是定值，则必可求出余下一个括号的最值。

最后，要把握”变用”，这里指的是对整个公式作灵活应用，是公式应用中的最高层次。

例 3 设实数满足，求的最大值.

分析： 显然，本题解决方向应是从小端向大端行进，然而，恰当配凑常数是关键。

例4 已知且

（1）若求的值.

（2）若恒成立，求正数t的取值范围.

分析： 对于（1），求的值只有两个方程，这是一个三元不定方程，一般不能求出确

定的的解，现题目要求这样做，因此个中必有特殊情况，特殊情况就在柯西不等式中，

等号当且仅当时取到。

可见题设的特殊性。确定了未知数能取的特殊性。

对于（2），既然恒成立，除参数t必然的一个取值范围的要求外还

须的最小值也应该是大于等于1.为此只需柯西不等式从大端到小端的进行，又，

于是成立，解得

例 5 已知，求的最大值.

分析： 要求出F的最大值，需要建立关于F的不等式，借助柯西不等式就可以达到目的.

于是有

当且仅当时取到。

例 6 如图 已知在锐角中，，其内一点P向三边作垂线，

垂足为N，M，L，试求的最小值，并指出此时P点的位置。

分析： 为了求出题中变量的最小值，首先想到的是把这

个量用数学式子表达出来。于是可设

由勾股定理

三式相加即得

化简整理得

由柯西不等式

有（1）、（2）得到

当且仅当时取到。

的最小值为

此时P点是锐角三角形ABC的外心。

综上所述，柯西不等式的教学既要抓紧基础知识的落实，又要灵活掌握应用。在柯西不等式的应用中充满着智慧，对运算能力特别是代数式的变形技巧和数字的配凑技巧提出较高的要求，是培养学生能力的好场所。

柯西不等式的小结