2019年安徽省淮南市沿淮五校联考中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）﹣（﹣2019）等于（　　）

A．﹣2019 B．2019 C． D．±2019

2．（4分）我国首艘国产航母于2018年4月26日正式下水，排水量约为65000吨，将65000用科学记数法表示为（　　）

A．6.5×10﹣4 B．6.5×104 C．﹣6.5×104 D．0.65×104

3．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B．

C． D．

4．（4分）下列计算正确的是（　　）

A．2x﹣x＝1 B．x2•x3＝x6

C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣xy3）2＝x2y6

5．（4分）某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．800（1+2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝80

C．80（1+x）2＝100 D．80（1+x2）＝100

6．（4分）多项式4x﹣x3分解因式的结果是（　　）

A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x）

C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）2

7．（4分）“保护环境，绿色出行”，电动汽车被广泛需求，某电动汽车电瓶生产公司，6月连续10天对生产的一种电瓶零件进行抽样调查，生产的零件次品数如下（单位：个）：1，3，4，0，3，0，3，2，1，3．下列关于这组数据的统计量，错误的说法是（　　）

A．平均数是2 B．中位数是3 C．众数是3 D．方差是1.8

8．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

9．（4分）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（　　）

A． B． C． D．

10．（4分）如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空題（本大题4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）函数的自变量x的取值范围是　 　．

12．（5分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠A的度数为　 　．

13．（5分）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A，与x轴正半轴交于点B，且S△AOB＝1，则反比例函数解析式为　 　．

14．（5分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15．（8分）计算：4cos60°﹣（）﹣1+（π﹣2019）0．

16．（8分）大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完，试问大、小和尚各有多少人？

四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．

（1）画出△ABC左平移4个单位得到的△A1B1C1，且A1的坐标为　 　；

（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．

18．（8分）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为a，内部的格点个数为b，则S＝a+（b﹣1）．

对于正三角形网格中的类似问题也有对应结论：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图是该正三角形格点中的两个多边形（设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为m，内部的格点个数为n）：

（1）根据图中提供的信息填表：

（2）则S与m、m﹣1之间的关系为　 　（用含m、n的代数式表示）．

五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19．（10分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以80海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？（结果保留根号）

20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若AD＝6，BE＝2，求四边形ABFC的面积．

六、（本题满分12分）

21．（12分）由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线．这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心、推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了整理，分成5个小组（x表成绩，单位：分，且10≤x＜70），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中2、5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：

学习积分频数分布表

（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为62分、65分，现要从5组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少1人被选中的概率．

七、（本题满分12分）

22．（12分）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．

（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．

①证明：AB∥EC；

②证明：△DAF∽△DEC；

（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．

八、（本题满分14分）

23．（14分）某度假村拥有客房40间，该度假村在经营中发现每间客房日租金x（元）与每日租出的客房数（y）有如下关系：

（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每日租出的客房数y（间）与每间客房的日租金x（元）之间的关系式．

（2）已知租出的每间客房每日需要清洁费80元，未租出的每间客房每日需要清洁费40元．含x（x≥200）的代数式填表：

（3）若你是该度假村的老板，你会将每间客房的日租金定为多少元，才能使度假村获得最大日收益？最大日收益是多少元？

2019年安徽省淮南市沿淮五校联考中考数学模拟试卷（3月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）﹣（﹣2019）等于（　　）

A．﹣2019 B．2019 C． D．±2019

【分析】根据相反数的定义，可以求得题目中式子的值．

【解答】解：﹣（﹣2019）＝2019，

故选：B．

【点评】本题考查相反数，解答本题的关键是明确相反数的定义．

2．（4分）我国首艘国产航母于2018年4月26日正式下水，排水量约为65000吨，将65000用科学记数法表示为（　　）

A．6.5×10﹣4 B．6.5×104 C．﹣6.5×104 D．0.65×104

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：65000＝6.5×104，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．

故选：C．

【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体．主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．

4．（4分）下列计算正确的是（　　）

A．2x﹣x＝1 B．x2•x3＝x6

C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣xy3）2＝x2y6

【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、2x﹣x＝x，错误；

B、x2•x3＝x5，错误；

C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，错误；

D、（﹣xy3）2＝x2y6，正确；

故选：D．

【点评】此题主要考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果．

5．（4分）某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．800（1+2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝80

C．80（1+x）2＝100 D．80（1+x2）＝100

【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．

【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，

根据2017年蔬菜产量为80吨，则2018年蔬菜产量为80（1+x）吨，2019年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，

即：80（1+x）（1+x）＝100或80（1+x）2＝100．

故选：C．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．

6．（4分）多项式4x﹣x3分解因式的结果是（　　）

A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x）

C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）2

【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式进行分解即可．

【解答】解：4x﹣x3＝x（4﹣x2）＝x（2﹣x）（2+x）．

故选：B．

【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．

7．（4分）“保护环境，绿色出行”，电动汽车被广泛需求，某电动汽车电瓶生产公司，6月连续10天对生产的一种电瓶零件进行抽样调查，生产的零件次品数如下（单位：个）：1，3，4，0，3，0，3，2，1，3．下列关于这组数据的统计量，错误的说法是（　　）

A．平均数是2 B．中位数是3 C．众数是3 D．方差是1.8

【分析】根据平均数和中位数、众数的概念以及方差的计算公式分别对每一项进行分析即可．

【解答】解：A、这组数据的平均数是（1+3+4+0+3+0+3+2+1+3）÷10＝2，故本选项正确；

B、把这些数从小到大排列为：0，0，1，1，2，3，3，3，3，4，则中位数是：＝2.5，故本选项错误；

C、∵3出现了4次，出现的次数最多，∴众数是3，故本选项正确；

D、方差是：[2（1﹣2）2+2（0﹣2）2+（2﹣2）2+4（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝1.8，故本选项正确；

故选：B．

【点评】本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

8．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．

【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有实数根

∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，

∴m≤3．

∵m为正整数，且该方程的根都是整数，

∴m＝2或3．

∴2+3＝5．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．

9．（4分）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】设七巧板的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB，BC，进一步求出的值．

【解答】解：设七巧板的边长为x，则

AB＝x+x，

BC＝x+x+x＝2x，

∴＝＝．

故选：C．

【点评】考查了矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出AB，BC的长．

10．（4分）如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．

【解答】解：∵∠P＝90°，PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM＝45°，

由题意得：CM＝x，

分三种情况：

①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，

∵∠PMN＝45°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC，

∴y＝S△EMC＝CM•CE＝；

故选项B和D不正确；

②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，

∵∠N＝45°，CD＝2，

∴CN＝CD＝2，

∴CM＝6﹣2＝4，

即此时x＝4，

当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，

过E作EF⊥MN于F，

∴EF＝MF＝2，

∴ED＝CF＝x﹣2，

∴y＝S梯形EMCD＝CD•（DE+CM）＝＝2x﹣2；

③当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，

∴EH＝MH＝2，DE＝CH＝x﹣2，

∵MN＝6，CM＝x，

∴CG＝CN＝6﹣x，

∴DF＝DG＝2﹣（6﹣x）＝x﹣4，

∴y＝S梯形EMCD﹣S△FDG＝﹣＝×2×（x﹣2+x）﹣＝﹣+6x﹣10，

故选项A正确；

故选：A．

【点评】此题是动点问题的函数图象，有难度，主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示，注意运用数形结合和分类讨论思想的应用．

二、填空題（本大题4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）函数的自变量x的取值范围是　x＞﹣1　．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x+1＞0，

解得x＞﹣1．

故答案为：x＞﹣1．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12．（5分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠A的度数为　22.5°　．

【分析】因为∠COD＝∠A+∠OCA，∠A＝∠COA，所以求出∠COD即可解决问题．

【解答】解：∵CD切⊙O于C，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD＝90°，

∵CO＝CD，

∴∠COD＝∠D＝45°，

∵OA＝CO，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，

∴∠A＝22.5°．

故答案为22.5°．

【点评】本题考查切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握这些性质是解决问题的关键，记住切线垂直于过切点的半径，等腰直角三角形两个底角等于45°，属于基础题．

13．（5分）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A，与x轴正半轴交于点B，且S△AOB＝1，则反比例函数解析式为　y＝﹣　．

【分析】由一次函数解析式求得B（1，0），根据三角形的面积公式求得点A的纵坐标，结合一次函数图象上点的坐标特征求得点A的横坐标，由点A的坐标求得反比例函数解析式．

【解答】解：在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝0．即B（1，0）．

所以OB＝1．

设A（a，）．

由S△AOB＝1得到：×1×＝1．

所以＝2，①

因为点A（a，）是一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝（x＜0）的图象的交点，

所以＝﹣a+1，②

联立①②得到：a＝﹣1，k＝﹣2．

所以，反比例函数解析式为：y＝﹣．

故答案是：y＝﹣．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

14．（5分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　5或4或5　．

【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE＝AE＝5即可；

②当PE＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；

③当PA＝PE时，底边AE＝5；即可得出结论．

【解答】解：如图所示：

①当AP＝AE＝5时，

∵∠BAD＝90°，

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴底边PE＝AE＝5；

②当PE＝AE＝5时，

∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，

∴PB＝＝4，

∴底边AP＝＝＝4；

③当PA＝PE时，底边AE＝5；

综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5或4或5；

故答案为：5或4或5．

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15．（8分）计算：4cos60°﹣（）﹣1+（π﹣2019）0．

【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：4cos60°﹣（）﹣1+（π﹣2019）0．

＝4×﹣2+1

＝2﹣2+1

＝1．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．

16．（8分）大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完，试问大、小和尚各有多少人？

【分析】设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据“有100个和尚分100只馒头正好分完，大和尚一人分3只小和尚3人分一只”列出方程，解方程即可．

【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意得

3x+（100﹣x）＝100，

解得x＝25，

100﹣x＝75．

答：大和尚有25人，则小和尚有75人．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．

（1）画出△ABC左平移4个单位得到的△A1B1C1，且A1的坐标为　（﹣3，4）　；

（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．

【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；

（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；

（3）BC扫过的面积＝S﹣S，由此计算即可；

【解答】解：（1）△A1B1C1，如图所示，且A1的坐标为（﹣3，4）；

故答案为（﹣3，4）．

（2）△A2B2C2如图所示．

（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积＝S﹣S＝﹣＝2π．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

18．（8分）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为a，内部的格点个数为b，则S＝a+（b﹣1）．

对于正三角形网格中的类似问题也有对应结论：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图是该正三角形格点中的两个多边形（设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为m，内部的格点个数为n）：

（1）根据图中提供的信息填表：

（2）则S与m、m﹣1之间的关系为　S＝m+2（n﹣1）　（用含m、n的代数式表示）．

【分析】（1）根据题意和图形即可得出结果；

（2）由题意可知15＝11+2×2，10＝8+2×1，得出规律即可．

【解答】解：（1）填表如下：

故答案为：2，10；

（2）由题意可知15＝11+2×2，10＝8+2×1，

∴S＝m+2（n﹣1）；

故答案为：S＝m+2（n﹣1）．

【点评】此题考查了等边三角形的性质、图形的变化规律．根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律是关键．

五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19．（10分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以80海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？（结果保留根号）

【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．

【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，

在直角△AQP中，∠PAQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1+BQ＝60+BQ（海里），

所以 BQ＝PQ﹣60．

在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ•tan30°＝PQ（海里），

所以 PQ﹣60＝PQ，

所以 PQ＝30（3+）（海里）

所以 MN＝PQ＝30（3+）（海里）

在直角△BMN中，∠MBN＝30°，

所以 BM＝2MN＝60（3+）（海里）

所以t＝＝（小时）

故答案是：．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若AD＝6，BE＝2，求四边形ABFC的面积．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据线段垂直平分线的性质、菱形的判定定理证明结论；

（2）根据菱形的性质求出CE，根据切割线定理求出CD，根据勾股定理、菱形的面积公式计算，得到答案．

【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，

∴∠AEB＝90°，

∵EF＝AE，

∴CB是线段AF的垂直平分线，

∴BA＝BF，CA＝CF，

∵AB＝AC，

∴BA＝BF＝CA＝CF，

∴四边形ABFC是菱形；

（2）解：∵四边形ABFC是菱形，

∴CE＝BE＝2，

由切割线定理得，CD•CA＝CE•CB，即CD•（CD+6）＝2×4，

解得，CD1＝2，CD2＝﹣8（舍去）

∴AC＝8，

由勾股定理得，AE＝＝2，

∴AF＝4，

则四边形ABFC的面积＝×4×4＝16．

【点评】本题考查的是菱形的判定、圆周角定理、勾股定理，掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键．

六、（本题满分12分）

21．（12分）由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线．这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心、推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了整理，分成5个小组（x表成绩，单位：分，且10≤x＜70），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中2、5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：

学习积分频数分布表

（1）填空：a＝　4　，b＝　32%　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为62分、65分，现要从5组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少1人被选中的概率．

【分析】（1）根据3组的人数除以3组所占的百分比，可得总人数，进而可求出1组，4组的所占百分比，则a，b的值可求；根据中位线的定义解答即可；

（2）由（1）中的数据即可补全频数分布直方图；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人中至少1人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）由题意可知总人数＝15÷30%＝50（人），

所以4组所占百分比＝10÷50×100%＝20%，1组所占百分比＝5÷50×100%＝10%，

因为2组、5组两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，

所以5a＝50﹣5﹣15﹣10，

解得a＝4，

所以b＝16÷50×100%＝32%，

故答案为4，32%；

（2）由（1）可知补全频数分布直方图如图所示：

（3）设甲为A，乙为B，画树状图为：

由树状图可知从E组中随机选取2人介绍经验，则甲、乙两人中至少1人被选中的概率＝＝．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

七、（本题满分12分）

22．（12分）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．

（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．

①证明：AB∥EC；

②证明：△DAF∽△DEC；

（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．

【分析】（1）①由旋转得出△ABC与△ADE全等，得到AE＝AC，由∠EAC＝α＝60°，证明△AEC为等边三角形，推出∠ACE＝∠BAC＝60°即可证明结论；

②由△ABC与△ADE全等，得到∠AED＝∠ACB，由对顶角相等，证明△ADE与△FDC相似，推出对应边的比相等，再由∠ADF＝∠EDC即可证明结论；

（2）由△ABC与△ADE全等，得到∠AED＝∠ACB，再由对顶角相等证出△AGE与△FGC相似；由△AGE与△FGC相似，推出△AGF与△EGC对应边的比相等，由对顶角相等即可推出△AGF与△EGC相似．

【解答】解：（1）①∵△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，

∴△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，

∵∠EAC＝α＝60°．

∴△AEC为等边三角形，

∴∠ACE＝∠BAC＝60°，

∴AB∥EC；

②∵△ABC≌△ADE，

∴∠AED＝∠ACB，

又∵∠ADE＝∠FDC，

∴△ADE∽△FDC，

∴＝，

∴＝，

又∵∠ADF＝∠EDC，

∴△DAF∽△DEC；

（2）①∵△ABC≌△ADE，

∴∠AED＝∠ACB，

又∵∠AGE＝∠FGC，

∴△AGE∽△FGC；

②∵△AGE∽△FGC，

∴＝，

∴＝，

又∵∠AGF＝∠EGC，

△AGF∽△EGC；

综上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，相似的判定等，解答本题的关键是要熟练掌握相似的判定方法．

八、（本题满分14分）

23．（14分）某度假村拥有客房40间，该度假村在经营中发现每间客房日租金x（元）与每日租出的客房数（y）有如下关系：

（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每日租出的客房数y（间）与每间客房的日租金x（元）之间的关系式．

（2）已知租出的每间客房每日需要清洁费80元，未租出的每间客房每日需要清洁费40元．含x（x≥200）的代数式填表：

（3）若你是该度假村的老板，你会将每间客房的日租金定为多少元，才能使度假村获得最大日收益？最大日收益是多少元？

【分析】（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式；

（2）根据题意可用代数式求出的客房数和未出租客房数即可．

（3）租出的客房的利润减去未租客房的清洁费，即为公司日收益，再利用二次函数的性质求解可得．

【解答】解：（1）由表格知，每天的租赁价每增加20元，每天租出的客房少5辆，

所以y与x满足一次函数关系，设y＝kx+b，

则 ，

解得：，

∴y＝﹣x+90；

（2）当每间客房日租金x元时，租出的客房数为﹣x+90，租出每间客房的日收益为（x﹣80）元；

未租出的客房数为40﹣（﹣x+90）＝x﹣50，所有未租出的客房每日的维护费40（ x﹣50）＝10x﹣2000；

故答案为：﹣x+90；x﹣50；x﹣80；10x﹣2000；

（3）设公司获得的日收益为w，

则w＝（x﹣80）（﹣x+90）﹣（10x﹣2000）

＝﹣x2+100x﹣5200

＝﹣（x﹣200）2+4800（x≥200），

∵当x≥200时，w随x的增大而减小，

∴当x＝200时，w取得最大值，最大值为4800，

答：将每间客房的日租金定为200元，才能使度假村获得最大日收益．最大日收益是4800元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．

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日期：2019/7/29 22:24:30；用户：於雷；邮箱：159********；学号：5108470

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