大一第二学期高等数学期中考试试卷

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为和，则该球面的方程为______________________

2、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为

3、曲面与平面平行的切平面方程为

4、

5、设二元函数，则_______________

二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面是（ ）

（A）．坐标面上的双曲线绕轴旋转而成；

（B）．坐标面上的双曲线绕轴旋转而成；

（C）．坐标面上的椭圆绕轴旋转而成；

（D）．坐标面上的椭圆绕轴旋转而成．

2、微分方程的一个特解应具有形式（ ）

其中都是待定常数.

(A).;

(B).;

(C).;

(D).

3、已知直线与平面,则 （ ）

(A).在内; (B).与不相交;

(C).与正交; (D).与斜交.

4、下列说法正确的是（ ）

(A) 两向量与平行的充要条件是存在唯一的实数，使得；

(B) 二元函数的两个二阶偏导数,在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；

(C) 二元函数的两个偏导数在点处连续是函数在该点可微的充分条件；

(D) 二元函数的两个偏导数在点处连续是函数在该点可微 的必要条件.

5、设且（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则（ ）

(A); (B);

(C); (D).

三、计算题（本大题共29分）

1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

(1)（6分）

(2)（7分）

2、（本题8分）设，，，求全导数。

3、（本题8分）求函数的极值。

四、应用题（本题8分）

1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和台，成本函数为 （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？

五、综合题（本大题共21分）

1、（本题10分）已知直线，，求过且平行于的平面方程．

2、（本题11分）设函数 在球面上求一点，使函数取到最大值．

六、证明题（本题共12分）

1、设函数，其中是常数，函数具有连续的一阶偏导数．试证明:

第二学期高等数学期中考试试卷答案

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1.、

2、．

3、．

4、0

5、；

二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1（A）

2（B）

3（C）

4（C）

5（A）

三、计算题（本大题共29分）

1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：

上式两端积分得

即　：　 其中为任意常数．

（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为 于是，该齐次方程的通解为因是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得

于是，求得题没方程的一个特解

从而，所求题设方程的通解为

2、解：，

，

依复合函数求导法则，全导数为

3、解：解方程组，得驻点。由于，，在点处，，，，，所以函数在点处取得极小值，极小值为。

四、应用题（本题8分）

1、解：即求成本函数在条件下的最小值

构造辅助函数

解方程组

解得

这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产台和台时，总成本最小，最小成本为：（万）

五、综合题（本大题共21分）

1、解：直线与的方向向量分别为

，

，

作 ，

取直线上的一点，则过点且以为法向量的平面 ，

就是过且平行于的平面方程．

2、解：设球面上点为．

令 ，

由前三个式子得，代入最后式子得．由题意得在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点就是最大值点，最大值为．

六、证明题（本题共12分）1、证明：

所以，

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案