第一章课程知识

1.高中数学课程地位和作用：

1高中数学课程是义务教诲后普通高档中学一门重要课程，它包括了数学中最基本内容，是培养公民素质基本课程。

2高中数学对于结识数学与自然界、数学与人类社会关系，提高提出问题、分析和解决问题能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具备基本性作用。

3高中数学课程有助于学生结识数学应用价值，增强应用意识。

4高中数学是学习高中物理、化学等其她课程基本。

2.高中数学课程基本理念：

1高中数学课程定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才基本课。

2高中数学增长了选取性（整个高中课程基本理念）：为学生发展、培养自己兴趣、特长提供空间。

3让学生成为学习主人：倡导自主学习、合伙学习；协助学生养成良好学习习惯。

4提高学生数学应用意识：是数学科学发展规定；是培养创新能力需要；是培养学习兴趣需要；是培养自信心需要；数学应用广泛性需要学生具备应用意识。

5强调培养学生创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、数学建模。

6注重“双基”发展（数学基本知识和基本能力）：理解基本数学概念和结论本质；强调概念、结论产生背景；强调体会其中所蕴含数学思想办法。

7强调数学文化价值：数学是人类文化重要构成某些；《新课标》强调了数学文化重要作用。

8全面地结识评价：学习成果和学习过程；学习水平和情感态度变化；终结性评价和过程性评价。

3.高中数学课程目的：

1总目的：使学生在九年义务教诲数学课程基本上，进一步提高作为将来公民所必要数学素养，以满足个人发展与社会进步需要。

2三维目的：知识与技能、过程与办法、情感态度与价值观

3把“过程与办法”作为课程目的是本次课程改革最大变化之一。

4五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据解决能力

4.高中数学课程内容构造：

1必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算法、记录和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式）

2选修课程（每模块2学分，36学时；每专项1学分，18学时）：

1选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（记录、推理与证明、复数、框图）

2选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、记录案例、概率）

3选修系列3（6个专项）

4选修系列4（10个专项）

5.高中数学课程主线：

函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、记录概率主线、应用主线。

6.教学建议：

1以学生发展为本，指引学生合理选取课程、制定学习筹划

2协助学生打好基本，发展能力：

1强调对基本概念和基本思想理解和掌握

2注重基本技能训练

3与时俱进地审视基本知识与基本能力

3注重联系，提高对数学整体认知

4注重数学知识与实际联系，发展学生应用意识和能力

5关注数学文化价值，增进学生科学观形成

6改进教与学方式，使学生积极地学习

7恰当运用当代信息技术，提高教学质量

7.评价建议：

1注重对学生数学学习过程评价

2对的评价学生数学基本知识和基本能力

3注重对学生能力评价（问题意识、独立思考、交流与合伙、自评与互评）

4实行增进学生发展多元化评价（尊重被评价对象）

5依照学生不同选取进行评价

第二章教学知识

8.教学原则

抽象与详细相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”）

9.教学过程

备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）

10.教学办法

1讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学语言）

2讨论法：体现“学生是学习主体”特点。

3自学辅导法：卢仲衡专家提出，规定学生肯自学、能自学、会自学、爱自学

4发现法：又称问题教学法（布鲁纳），环节是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问题解法；完善问题解答，总结思路办法；知识综合，充实改进学生知识构造。

11.概念教学

1概念内涵与外延：当概念内涵扩大时，则概念外延就缩小；当概念内涵缩小时，则概念外延就扩大。内涵和外延之间这种关系，称为反变关系。

2概念间逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包括关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）

3概念下定义常用方式：属加种差定义法（被定义概念=最邻近属概念+种差，如“有一种角是直角平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简要清晰语言描述，如“”）

4数学概念获得重要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）

12.命题教学：整体性方略（旨在加强命题知识横、纵向联系）、准备性方略（教学实行之 前）、问题性方略（激发学生积极性）、情境化教学、过程性方略（暴露命题产生于证明“因此然”过程）、产生式方略（变式练习）

13.推理教学

1推理构造：任何推理都是由前提和结论两某些构成

2推理形式：演绎推理（由普通到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前提，得推理）、归纳推理（由特殊到普通）、类比推理（由特殊到特殊）

14.问题解决教学

1数学问题设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则

2纯粹数学问题解决：波利亚如何解题表（分析题意；拟定筹划；执行筹划；验算所得到解）

3非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解数学模型；检查；交流和评价；推广）

15.学习方式：自主学习、探究学习、合伙学习

第三章教学技能

16.教学设计

1课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以当代教诲理论为基本，应用系统科学办法分析研究课堂教学问题，拟定解决问题办法和环节，并对课堂教学活动进行系统安排过程。

2教学设计与教案关系：

1内容不同：

教学设计基本构成既涉及教学过程，也涉及指引思想与理论根据、教学背景分析、对学生需要分析、学习内容分析、教学办法与方略选定、教学资源设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用当代教学理论进行分析，不但阐明教什么、如何教，并且阐明为什么这样教；教案基本构成是教学过程，侧重教什么、如何教。

2核心目不同：

教学设计不但注重教师教，更注重学生学，以及如何使学生学得更好。达到更好教学效果是教学设计核心目；教案核心目就是教师如何讲好教学内容。

3范畴不同：

从研究范畴上讲，教案只是教学设计一种重要内容。

3数学课堂教学设计意义：

1使课堂教学更规范、操作性更强

2使课堂教学更科学

3使课堂教学过程更优化

4数学课堂教学设计基本规定：

1充分体现数学课程原则基本理念，努力体现以学生发展为本

2适应学生学习心理和年龄特性

3注重课程资源开发和运用

4注重预设与生成辩证统一

5辩证结识和解决教学中各种关系

6整体把握教学活动构造

5数学教学设计准备：

1认真学习新课标，理解当前国内数学课程目的规定

2全面关注学生需求

3认真研读数学教材和参照书，领悟编写意图

4广泛涉猎数学教诲其她先进资源，吸取她人精华，丰富自己教学设计

5制定学期教学筹划、单元教学筹划

6教材分析

1分析和解决教材是教学设计基本环节和核心任务

2整体系统观念用教材

3理解教材编排意图

4突出教材重点和难点

7学情分析

1分析学生原有认知基本

2分析学生个体差别

3理解学生生理、心理

4理解学生对本学科学习办法掌握状况

5分析学习知识时也许要遇到困难

8制定合理教学目的规定

1反映学科特点，体现内容本质

2要有筹划性，可评价性

3格式要规范，用词要考究

4要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等

5注意教学目的层次性（记忆、理解、探究）

6要实在详细，不浮华

9教学反思

1教学反思内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验反思

2教学反思环节：截取课堂教学片段及其有关教学设计；提炼反思问题；个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文

10教学设计撰写：

1教学目的：知识与技能（理解、掌握、应用）；过程与办法（提高能力）；情感态度与价值观（体验规律、培养看问题办法）

2学情分析

3教材分析：本节课作用和地位；本节课重要内容；重难点分析

4教学理念

5教学方略

6教学环境

7教学过程

8教学反思

17.教学实行

1课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬念导入法

2课堂提问原则：目性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则

3课堂提问类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问

4学生活动：

1学生活动体现了学生在学习中主体地位

2作为教学环节之一“学生活动”是意义建构构成某些

3学生活动目是增进学生理解

4从总体上说，学生活动必要是思维活动

5课堂结束技能实行办法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、发散法和拓展法

6结束技能实行时应注意问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外沟通，立疑开拓

18.教学评价

1数学教诲评价要素：教学目的、教学内容、教学办法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果

2数学教诲评价功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能

第四章惯用数学公式

一、函数、导数

1.函数单调性

1设、且。那么

在上是增函数；

在上是减函数。

2设函数在某个区间内可导，若0' altImg='ebe42526114bbaf9644b2efceb9fe076.png' w='75' h='26' omath='f'x>0' class='_5'>，则在该区间内为增函数；若x<0' class='_5'>，则在该区间内为减函数

2.函数奇偶性（该函数定义域关于原点对称）

对于定义域内任意，均有，则是偶函数；

对于定义域内任意，均有，则是奇函数。

奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于轴对称。

3.函数在点处导数几何意义

函数在点处导数x0' class='_5'>是曲线在处切线斜率，相应切线方程是x0x-x0' class='_5'>。

4.几种常用函数导数

=0' class='_5'>（C为常数）；=axlna' class='_5'>；

=nxn-1' class='_5'>（）；=ex' class='_5'>；

=cosx' class='_5'>；=-sinx' class='_5'>；

=-arc cosx'=11-x2' class='_5'>；

=-arc cotx'=11+x2' class='_5'>；

=1x' class='_5'>；=1xlna' class='_5'>；

5.导数运算法则

=u'±v'' class='_5'>；=u'v+uv'' class='_5'>；=g'uu'' class='_5'>

6.幂函数（）

7.求函数极值办法:解方程x=0' class='_6'>。当x0=0' class='_6'>时：

1如果在附近左侧0' altImg='e6d2d866e2766a7cf749af06c078524b.png' w='83' h='27' omath='f'x0>0' class='_6'>，右侧x0<0' class='_6'>，则是极大值；

2如果在附近左侧x0<0' class='_6'>，右侧0' altImg='e6d2d866e2766a7cf749af06c078524b.png' w='83' h='27' omath='f'x0>0' class='_6'>，则是极小值；

8.凹凸函数：设在开区间上存在二阶导数：

1若对任意，有，则在上为下凸函数；

2若对任意，有，则在上为上凸函数；

二、三角函数、三角变换、解三角形、向量

9.同角三角函数基本关系式

10.正弦、余弦诱导公式

11.和角与差角公式

；

；

（辅助角所在象限由点象限决定，）

12.二倍角公式

；

；

13.三角函数周期

函数，及函数，（为常数，且，）周期；函数，，（为常数，且，）周期。

14.三角函数图像变换：

1函数，即横坐标伸长（）或缩短（）到本来倍，再向左（）或向右（）平移个单位，最后纵坐标伸长（）或缩短（）到本来倍。

2函数，即向左（）或向右（）平移个单位，再横坐标伸长（）或缩短（）到本来倍，再，最后纵坐标伸长（）或缩短（）到本来倍。

15.正弦定理

（是外接圆半径）

16.余弦定理

；；

17.三角形面积公式

18.a与b数量积（或内积）

（是向量a，b夹角）

19.向量坐标运算

1设，,则；

2设，,则；

3设，则。

20.两向量夹角公式

设，,且，则。

21.向量平行与垂直

；

三、数列、集合与命题

22.数列通项公式与前项和关系

（数列前项和为）

23.等差数列通项公式和前项和公式

；

24.等比数列通项公式和前项和公式

；

25.数列求和常用结论：

（）；

；

；

。

26.有个元素集合，具有个子集，个真子集。

27.原命题：若则；否命题：若则；命题否定：若则。

28.全称量词即“所有”，“所有”，可写作“”；存在量词又称特称量词，写作“”。

四、不等式

29.均值不等式

设， (当且仅当＝b时取“=”号)

30.柯西不等式

，其中，当且仅当时不等式取等号。

31.Jensen不等式

32.三角不等式：

33.指数不等式：

五、解析几何与立体几何

34.直线五种方程

1点斜式：（直线过点，且斜率为）

2斜截式：（b为直线在y轴上截距）

3两点式：（直线过点，且，）

4截距式：（、b分别为直线横、纵截距，）

5普通式：（其中A、B不同步为0）

35.两条直线平行和垂直

若，

1；

2

36.点到直线（距离

37.角平分线所在直线方程

，其中分别为角边所在直线斜率，为原角大小

38.圆三种方程

1圆普通方程：

2圆原则方程：

3圆参数方程：

39.两个圆公共弦所在方程

40.直线与圆位置关系

直线与圆位置关系有三种：

相离；相切；相交，弦长=;

其中

41.椭圆、双曲线、抛物线图形、定义、原则方程、几何性质

椭圆：，离心率，准线，参数方程是，椭圆上点与两个定点距离之和等于常数（）。

双曲线：，离心率，准线，渐近线方程是，椭圆上点与两个定点距离之差等于常数（）。

抛物线：，焦点，准线，焦半径，过抛物线焦点弦长，抛物线上点到焦点距离等于它到准线距离。

42.双曲线方程与渐近线方程关系

1若双曲线方程为。

2若渐近线方程为双曲线可设为。

3若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上；，焦点在轴上）

43.若斜率为直线与圆锥曲线相交于两点，则弦长公式为

（）

44.柱体、锥体、球体侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=，表面积=，体积=（是柱体底面积，是柱体高）；圆锥侧面积=，表面积=，体积=（是锥体底面积，是锥体高）；

球半径是，则其体积，其表面积

六、空间几何

45.平面方程：

1点法式：，是平面法向量

2普通式：（不全为0）

3参数式：已知平面上一点以及平行于平面两不共线向量和，则有

46.两平面间关系:

1；（法向量共线但两平面不重叠）

2

3与夹角（）：

47.直线方程：

1普通式（交面式）：

2参数式：

3对称式（原则式）：

48.直线与平面关系：

1且；

2

3与夹角（）：

49.曲面方程：

1单叶双曲面：（）

2双叶双曲面：（）

3椭圆抛物面：（），当时，曲面为旋转抛物面

4双曲抛物面：（）

七、概率记录

50.平均数、方差、原则差、盼望计算

平均数：

方差：

原则差：

盼望

51.回归线方程

，其中，

52.独立性检查：

53.排列数、组合数

排列数公式：，其中，；

组合数公式：，其中

54.二项式定理：

1

2第项：（，）

3系数和：，

4当绝对值与1相比很小且不大时，有，

55.相对独立事件同步发生概率

56.正态分布记为，其中盼望，方差，曲线关于直线对称并在时取最大值。

57.离散型随机变量盼望与方差性质：

1盼望反映了离散型随机变量取值平均水平；方差与原则差反映了离散型随机变量取值稳定与波动、集中与离散限度。

2；（为常数）

3；（为常数）

4设，则，，

5若，则，；若服从几何分布，且，则，。

八、复数

58.复数除法运算：

59.复数模：

60.复数之间不能进行大小比较

61.设一元三次方程（）三个根分别是，则有：

1，，

2令，其中，

当时，方程有一种实根，一对共轭复根；

当时，方程有三个实根，其中有一种二重根；

当时，方程有三个不等实根。

九、极限与级数

62.柯西收敛准则：数列收敛充分必要条件是：对于任意，存在整数，使 得当时，有。

63.极限定义：：对于任意，存在正数，当时，有。

64.当时，有，，则有，

65.函数极限计算：

1（）其中各函数极限均存在

2洛必达法则：若函数和满足下列条件：

1 ，其中或；

2在点某去心邻域内两者均可导，且x≠0' class='_12'>；

则有xg'x' class='_12'>

66.拉格朗日中值定理：如果函数满足在闭区间上持续；在开区间内可导；那 么在开区间内至少有一点（）使等式εb-a' class='_12'>成立。

67.正项级数敛散性判断：

1比较鉴别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散

2比值与根值鉴别法：

若；

若；

3与级数比较：设，当时收敛，当时发散。

68.交错级数敛散性（莱布尼茨鉴别法）：设交错级数满足，；，则收敛，且其和，余项。

69.幂级数收敛半径及收敛域：

设幂级数，则有

1若，则其收敛半径为；

2判断在处敛散性；

3若该级数在处收敛，则其收敛域为；若该级数在处收敛，则其收敛域为；若该级数在处都收敛，则其收敛域为。

十、矩阵、线性空间与线性变换

70.矩阵转置：

1对于阶实矩阵，若满足或（为单位矩阵），则矩阵称为正交矩阵，其中为转置；

2若阶方阵满足，则称为对称矩阵；若阶方阵满足，则称为反对称矩阵，反对称矩阵对角线上元素必为0；

3转置运算规律：

71.齐次线性方程组解空间维数=方程组系数矩阵列数-系数矩阵秩

72.特性值和特性向量：

1给定矩阵，若存在一种非零向量和实数，满足，则称为矩阵特性值，为矩阵属于特性值特性向量。

2任意矩阵所有特性值和等于该矩阵对角线元素之和；所有特性值乘积等于该矩阵行列式值。

3若同阶矩阵和特性值相似，则有等价于。

73.非异矩阵：若阶矩阵行列式不为零，即，则称为非奇异矩阵或满秩矩阵， 否则称为奇异矩阵或降秩矩阵。

74.相似、合同：

1相似：非异矩阵，使得，则有相似于。

2相似判断：相似特性值、迹（自左上到右下主对角线和）、行列式值相似

3合同：非异矩阵，使得，则有与合同。

4合同判断：正、负特性值个数相等

75.线性空间：

1柯西布涅科夫斯基不等式：设是欧式空间，、，则，当且仅当、线性有关时，等号才成立

2自身与都是子空间，称之为平凡子空间，而其她子空间称为非平凡子空间。

3设与是线性空间两个子空间，则

76.施密特正交化法：

对维欧式空间任一组基，

令，

，

，

，

，

，

即为一组原则正交基。

2021年教师资格证数学学科知识与教学能力高中数学