由“数”到“形”，让学生重新理解数形结合法

——《幂函数》教学课例

【教学设计】

指数函数与对数函数的性质都是以几个特殊的函数从描点法出发作出其图象，去归纳、总结一般的指数函数与对数函数的共同属性，是一个由函数图形到函数性质的探索过程，但在高中的整个学习过程中，许多函数的图象用描几个点的方法是很难画出其图象的（如），必须先探究函数的一些基本性质（如定义域，奇偶性，单调性等），结合描点法才能比较准确地画出函数的大致图象，再通过图象去探讨函数的其它性质（如极值，最值，零点等）。在学习了函数的最大（小）值、函数的单调性、函数的奇偶性等性质后，如何从函数的性质出发，去刻划函数的图象，再归纳总结某类函数具有的共同属性及某些函数具有的特殊性质，让学生由函数性质到函数图象，再由函数图象回归到函数性质，从新的视角去学习数学，研究数学并解决数学问题，已变成学生一种新的数学学习方式。我校马亨玲老师的公开课——《幂函数的性质与图象》的教学形式就是一堂“由数到形，再由形到数”的新的学习方式，本课例就这种新的教学组织形式作简单的探讨

【教学片断一】概念的生成

1．写出下面五个问题的函数解析式：

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p= 元。

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S= 。

（3）如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V= 。

（4）如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= 。

（5）如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v= km/s，。

2．形成概念（给出幂函数定义），辨析概念。

（1）下面几个函数哪些是幂函数？

（A）；（B）；（C）；（D）；（E）。

（2）若函数是幂函数，则实数= 。

【教学片断二】从数到形的探究

word/media/image9_1.png师：对于幂函数，我们只讨论，前面3个函数分别是一次函数、二次函数、反比例函数，它们的图象初中已经学习过，老师已经画好了这三个函数的图象并分发到了同学们的手中（如右图），今天我们主要来探究函数的性质与图象，但老师有一个要求：请同学们先探讨这两个函数的一些性质，再结合性质去画出它们的大致图形。

探究1：对于函数，你想探究它的哪些性质？

学生回答，教师作适当点拨与补充，先探究函数的定义域及奇偶性。

探究2：如何判定函数的单调性？

学生回答，教师完善。

探究3：在探究1中，函数是奇函数，如果我们能判定函数在上的单调性，能否知道函数在上的单调性？

学生回答，教师引导学生把研究函数单调性的范围缩小到研究函数在上的单调性。

学生解答，教师板书：

解：设，

则，

所以，在上是增函数，又是奇函数，所以在上也是增函数，故在定义域R上是增函数。

探究4：你能根据前面的探究结果，大致画出函数的图象吗？

学生把图画在手中的坐标纸上，教师对学生存在的问题作点拨与修正。

探究5：对于函数，它的定义域及奇偶性分别是什么？

探究6：如何判定函数在上的单调性？

学生解答，教师板书：

解：，则。

探究7：如何判定的符号？同上面一样，如何变形会产生因式？

教师引导，完成求解过程。

探究8：你能根据前面的探究结果，大致画出函数的图象吗？

学生把图画在手中的坐标纸上，教师对学生存在的问题作点拨与修正。

有了五个幂函数的图象，我们可以进一步通过图象的直观性来研究幂函数具有的一些共有性质。

问题1：为什么幂函数的图象都过定点（1，1）？

问题2：为什么在第四象限都没有图象呢？

问题3：幂函数在第一象限的单调性有什么共有的性质呢？

问题4：观察图象，填写下表。

几何画板演示，学生小结幂函数的其它一些性质（能说多少，就说多少，不作过多扩充）。

【教学片断三】由形到数的应用

例1 比较下列两组数的大小

（1）1.5word/media/image28_1.png，1.7word/media/image29_1.png，；（2），，。

例2 已知函数。

（1）指出函数的定义域，奇偶性；

（2）用定义判定函数在）上的单调性；

（3）画出函数的图象，指出函数的值域。

变式1：作出函数的图象，根据图象回答下列问题：

（1）求函数图象与x轴交点的横坐标；

（2）指出当时，自变量x的取值范围。

变式2：作出函数的图象，根据图象回答下列问题：

（1）指出函数的单调区间及对称轴方程；

（2）函数与函数的图象有几个交点？

作业反馈：

已知函数。

（1）指出函数的定义域；

（2）判定函数的奇偶性；

（3）用定义判定并证明函数在上的单调性；

（4）根据以上性质，作出函数的图象并写出函数的值域。

【教学反思】

1．由“数”到“形”，教材编写给教师的教学提供了广阔的空间

word/media/image42_1.png教材在编写上是“用心良苦”的，如1.3.1的例4 已知函数，求函数的最大值和最小值。就是通过函数的单调性这一性质去作出其图象，再通过图象去解决函数的最值问题，教材同时也留下了一些供教师处理的空间，如1.3.2 教材指出，函数是偶函数，其图象如右。这个函数的图象是如何画出来的，学生当然有疑问，如果引导学生求出函数的定义域、值域，再探讨函数的奇偶性，函数在上的单调性等函数性质，其图象就不难理解了。又如3.1.1的例1 求函数的零点的个数。教材只给出了结论：由于函数在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点。显然教材的编写意图就是通过探究函数的单调性，再结合图象解决函数的零点个数问题。教材的这种编写形式，给我们实施从函数性质到函数图象的教学提供了广阔的空间。

2．从函数性质到函数图象教学的必要性

2．1 学生解决数学问题的需要

从初中的一次函数，反比例函数，二次函数，到高中的指数函数与对数函数，都是由“形”到“数”的教学过程，因此学生所掌握的数形结合的“原认知结构”就是单一的由“形”到“数”，对于高一的学生拿到函数问题，首先想到的是描点法画图解决问题，这自然就不奇怪了。但在解决某些较为复杂的函数模型时，我们往往看到学生由于图形不易作出（或图形作不准），而导致对函数性质的研究无法实施（如耐克函数）。究其原因，数形结合是一个由“形”到“数”和由“数”到“形”的有机统一体，缺少哪一个都是不完整的，所以由“数”到“形”的数学探究变成了学生在解决数学问题时的一种实际需求。因此在学习了函数的奇偶性，单调性，最值等函数性质后，为学生搭建一个由“数”到“形”的学习探究平台，丰富学生对数形结合法的原认知结构是完全有必要的。

2．2 学生学习数学螺旋式上升的需要

新课标强调数学的学习过程是一个螺旋式上升的过程，函数的学习正是这种过程的最好诠释。初中的函数学习重在直观，高中的函数学习在引入了函数概念后，提升了函数的抽象性，为理解函数这一概念，从函数解析式到函数的基本性质，再到基本初等函数，三角函数，延伸到数列，导数及其应用，就是一个学习函数螺旋式上升的过程。我们认为，大到一个知识体系的形成，小到某一个知识点的掌握，都是一个循序渐进，螺旋式上升的过程。由于个体认知的差异性，对刚接触函数性质的高一学生而言，对函数性质的掌握与应用也应该有一个由形到数（直观认知）到由数到形（逻辑推理）的过程。本节课我们就力求构建从函数性质出发去探究函数图象的画法，再由图象来解读函数其它性质（包括共性与特性）的学习平台，保证学生有足够多的时间与空间去体验由数到形的思维过程，既使得学生对函数性质的学习有一个巩固，提高的螺旋式上升过程，又使学生的原认知结构更趋于合理与完善。

3．反思教学重点与难点的处理

本节课的教学重点除幂函数的定义外，我们认为应该把精力放在搭建一个学生可以从函数性质出发，去探究函数图象画法，再由图象回归函数性质的学习平台，让学生深刻体会由“数”到“形”，再由“形”到“数”的思维过程，幂函数的性质并不是本节课的重点，学生能归纳多少算多少，教师应该正确认识学生个体的差异性。本节课的教学难点之一是把的单调性判定限制在区间上的合理性，其次是证明函数的单调性，学生由推导，易范用数学直观代替数学证明的错误，三是这两个函数的图象在区间[0，1]上如何确定，它们与图象的关系如何。教学实践表明，学生作出的图象是五花八门的，当教学主体在解决问题的过程中遇到困难时，教师作不同的处理，会产生不同的教学效果。在处理这三个教学难点时，对学生点拨与引领，揭示数学本质，让学生在解决问题的矛盾冲突中提升一点能力，学会一点方法，这些处理需要教师具备一定的教学智慧。

课堂实践表明，这样的教学设计是成功的，学生能够真正体会由数到形，再由形到数的必要性，并能把这一方法灵活地应用到解题中，如在比较（1）1.5word/media/image28_1.png，1.7word/media/image29_1.png，；（2），，这两题的第（2）问时，有不少同学就不是从幂函数出发，而是用指数函数的图象去分析解决它，再从课后作业反馈来看，总体效果都是不错的。但这样的设计也有一定的缺陷，由于在探讨函数的单调性时，由于学生遇到不少的困难再加上运算的不熟练，用时较多，使得一个课时量的内容在教学上略显过多。其它更好的设计方案，还需同行提出宝贵意见，但我们认为，即使用上两个课时完成这一内容，从学生需要出发，其利大于弊是显而易见的。

由“数”到“形”,让学生重新理解数形结合法—《幂函数》教学课例