2019-2020学年高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 映射的概念名师导航学案 苏教版必修1

知识梳理

1.映射的概念

映射f:A→B的定义是：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的__________一个元素，在集合B中都有__________的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作__________.

2.象与原象

在映射f:A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a的__________，元素a叫做元素b的__________，记作__________.

3.一一映射

如果映射f:A→B再满足_________________，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.

4.用映射的概念定义函数,函数的定义域、值域

如果A、B都是__________，那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)(x∈A，y∈B).

原象的集合A叫做函数y=f(x)的__________；象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)的__________.

__________、__________和__________，通常称为函数的三要素.

疑难突破

怎样理解映射概念?

(1)映射是一种特殊的对应.教科书上介绍了一些不同的对应，如一对多、一对一、多对一等，而且集合A、B中元素个数也注意了多样化，集合B中有的元素没有得到对应.

(2)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的.

(3)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的.

(4)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b，b叫a(在f下)的象，并且a的象是唯一的,a叫做b的原象，b的原象不要求唯一.B中的每一个元素不要求都有原象.

(5)记号“f:A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容在教材中是用汉字叙述的，如“求正弦”“乘以2再加5”等.在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示.

(6)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的.

(7)一一映射是一种特殊的映射,即映射f:A→B满足两个条件：A中不同的元素在B中有不同的象；B中每一个元素都有原象，这个映射叫A到B上的一一映射.

问题探究

问题1 请问：对应有几种形式？映射f：A→B和集合A到B的对应是一回事吗？

探究思路：对应有三种形式：“一对一的对应”“一对多的对应”和“多对一的对应”.严格地讲，映射f：A→B和集合A到B的对应不是一回事.根据映射的定义，映射f：A→B可以是“一对一的对应”，也可以是“多对一的对应”，而绝不能是“一对多的对应”.

问题2 你能用映射的概念来刻画函数吗?

探究思路：用映射的概念刻画函数的定义可以这样来叙述：

设A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫A到B的函数，记作y=f(x).

其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C叫做函数y=f(x)的值域.

典题精讲

例1 下列对应是不是从集合A到集合B的映射?为什么？

(1)A=R，B={x∈R|x≥0}，对应法则是“求平方”；

(2)A=R，B={x∈R|x＞0}，对应法则是“求平方”；

(3)A={x∈R|x＞0}，B=R，对应法则是“求平 方根”；

(4)A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”.

思路解析 只有(1)是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之 对应.

(2)不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0，在集合B中没有象.

(3)不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应，象不唯一.

(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应，象不唯一.

答案:(1)是；(2)不是；(3)不是；(4)不是.

例2 已知A=N*，B=｛正奇数｝，映射f：A→B,使Ａ中任一元素a与B中元素2a-1相对应，则在f：A→B中，A中元素9与B中元素___________对应；与集合B中元素9对应的A中元素为____________.

思路解析 根据映射的定义，在f：A→B中，A中元素9与B中元素2×9-1=17对应，故填17，在这个映射中，设A中元素a与B中元素9对应，则2a-1=9，解得a=5，因此后一空格应填5.

答案:17 5

例3 在映射f：A→B中，下列说法正确的是( )

A.集合B是集合A中所有元素的象的集合

B.集合B中每一个元素至少与集合A中的一个元素相对应

C.集合B中可能有元素不是集合A中元素的象

D.集合A中可能有元素在集合B中没有象

思路解析 根据映射的定义可知“对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应”，只要满足这条，那它就是映射.显然D不成立.但定义并没有要求“集合B中的每一个元素都是集合A中元素的象”，由此可知A、B也不对.C是满足映射定义的，故C正确.

答案:C

例4 已知映射f:A→B，其中，集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是 |a|，则集合B中元素的个数是( )

A.4 B.5 C.6 D.7

思路解析 该映射是函数，问题化为求函数的值域.已知映射f:A→B是函数f(x)=|x|，定义域A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，且B是值域，求值域，得B={3，2，1，4}，其元素的个数是4，因此，选A.

答案:A

知识导学

这个定义，从以下四点深刻理解它：(1)先记住映射的记号“f:A→B”，它包括集合A、B以及A到B的对应法则，f(A≠，B≠).(2)映射f:A→B是有方向的，即从A到B，定义中只要求A中的每一个元素在B中有怎样的“象”,并不要求B中的每一个元素在A中有怎样的对应.因此，“从A到B的映射”与“从B到A的映射”是不同的.(3)在A到B的映射中，集合A中的每一个元素在B中都有“象”，且“象”唯一.(4)映射是一种特殊的“对应”.而“对应”与集合一样，也是原始概念，即无定义的，但可以“说明”.对应是两个集合A与B的关系，通常以一个集合为主来考虑，对于A中的每一个元素来说，有以下三种对应关系：①B中有唯一元素与之对应.②B中有多个元素(不是唯一)与之对应.③B中没有元素与之 对应.

判别一个对应是映射f:A→B的要点是：①A到B；②A中每一个元素都有象，且象唯一.用映射的概念定义函数,函数的定义域、值域时注意的问题： (1)函数是特殊的映射，特别注意A、B是非空数集.(2)函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有的简记作函数f(x).而f(a)表示自变量x=a(a∈A)时的函数值(象).(3)值域C是B的子集，当B中的每一元素都有原象时，B=C.(4)应该知道，函数的决定性要素有两个：定义域和对应法则，而值域是由定义域和对应法则确定的，因而今后有“求函数的值域”的很多难题.因此，研究函数的任何问题都必须由定义域和对应法则这两个独立要素下手.但很多人往往犯“忽视定义域”的错误.

疑难导析

“映射”这一节内容是学完集合及其相关概念后又出现的一个新概念，它是集合论中一个极为重要的概念，是函数概念的推广.本节课主要内容就是映射概念，由于映射概念抽象、乏味、不好理解，因此重点、难点也是映射概念.

映射是近代数学中一个极其重要而且应用极其广泛的概念，它是函数概念的推广.在初中我们初步学习了用变量描述的函数概念，从运动变化的观点出发，将自变量x的每一取值与唯一确定的函数值对应起来.但是，有些函数如果只根据变量观点，就很难进行深入研究.例如，著名的狄利克雷(Dirchlet)函数

f(x)=和高斯(Gauss)函数g(x)=[x](x∈R,[x]表示不超过x的最大整数)，对这两个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.因此，近代数学引入集合与映射的概念，是数学发展的需要，是为了更好地刻画函数的定义，加深对函数概念的理解.下节课，我们将学习用映射描述的函数概念.同学们要从发展的观点去学习数学，才能学好数学，并发展创新.

问题导思

映射的概念是比较抽象的概念，它是在初中所学对应的基础上发展而来的.教学中应特别强调对应集合B中的唯一这点要求的理解.

映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和多对多.其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任一对唯一”.

函数与映射的区别与联系

函数是特殊的映射，即当两个集合A、B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射，而映射不一定是函数.

典题导考

绿色通道 给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射.

典题变式

下列对应是不是从A到B的映射？是不是函数？

(1)A=(-∞,+∞)，B=(0，+∞),f:x→y=|x|;

(2)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x;

(3)A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈Z},f:x→y=x2-2x+2;

(4)A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f:作矩形的外接圆.

解答：(1)不是映射，因为0∈A，但|0|=0∈B，当然，(1)更不是函数.(2)不是映射，更不是函数.因为y=±，当x>0时，元素x的象不唯一.(3)是映射.因为y=(x-1)2+1≥0，又当x∈A时，y∈Z，所以(3)是映射.又因为A、B都是数集，所以(3)也是函数.(4)是映射.因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即A中每一元素在B中都有唯一的象，所以(4)是映射.但A、B不是数集，所以不是函数.

典题变式

点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在映射f下的原象.

答案:由映射的定义，得

所以点(4，6)在映射f下的原象是(，1).

绿色通道 判断f：A→B是否是映射，主要的依据是定义.要正确理解定义：在映射f：A→B中，只要求A中的元素在对应法则f的作用下，在集合B中，都有唯一的元素和它对应，但B中的每一个元素在集合A中却未必都有原象.若B中每一个元素在集合A中都有原象，则称f：A→B是集合A到集合B上的映射；若B中至少有一个元素不是A中元素的象，则称f：A→B是集合A到集合B内的映射.

典题变式

下面说法正确的是( )

A.对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射

B.对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射

C.如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射

D.如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个 映射

答案:D

绿色通道 用映射的概念来深刻理解函数，反之，用函数的方法来解映射的问题，这是把概念与操作相结合的现代观点，在本例中，用具体的函数来操作映射是最快的算法，而不在概念中兜圈子.

典题变式

在下列5个对应中：

①f：N→N*，x→|x-3|；

②f：N→Q，x→2x；

③f：{1，2，3，4，5，6}→{-4，-3，0，5，12}，x→x(x-4)；

④f：N→{-1，1}，x→(-1)x；

⑤f：{平面M内的圆}→{平面M内的三角形}，圆→圆内接三角形.

其中是映射的有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

答案:B

2019-2020学年高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 映射的概念名师导航学案 苏教版必修1