关于冲激函数导数的两个性质

王东平;程从菊

【摘 要】对冲激函数的两个性质进行了推广,得到了关于冲激函数导数的两个定理,并将这两个定理进行了综合.

【期刊名称】《电气电子教学学报》

【年(卷),期】2001(023)002

【总页数】3页(P29-30,47)

【关键词】信号与系统;冲激函数;导数;筛选;尺度变换

【作 者】王东平;程从菊

【作者单位】四川大学电气信息学院,成都,610065;四川大学电气信息学院,成都,610065

【正文语种】中 文

【中图分类】工业技术

第 2 3 卷第 2 期 20 0 1 年 4 月 电气 电 子 教 学 学 报 JO U R N A L O F E E E E Vol.2 3 N o.2 Ap r.2 0 0 1关 于 冲激 函 数 导 数 的 两 个 性质王 东 平 程从 菊( 四 川 大学 电 气信 息学院 成都 ：6 1 0 0 6 5)摘 要 对冲激函数的两个性质进行了推广，得到了关于冲激函数导数的两个定理 ，并将这两个定理进行了综合．关键词 信号与系统 冲激函数导数 筛选 尺度变换0 引 言冲激函 数(艿 (f)) 是一种奇异函数 ， 它 在“ 信号与 系统”课程中占有重要地位 。 8(t) 的许多性质 已众所 周 知 ， 但艿 (t) 的 n 阶导数到底有哪些性质呢？带着这 一问 题 ， 我们参阅了 文献 [ 1] 。 现 将该出 中式( 2-5 1 ) 及式( 2 -5 0 ) 分别重列 于 下 ：伊曲( a t + b)- （ 一 1 ） “ 矗 可 伊 8 ’ 卜 十 鲁 ） (1 ) 厂O ） 艿 ‘8' 0一 t o） = （ 一 1 ） 吖 1 “)(t o) 8 (t -t o ) ( 2 ) 本 文 中 ， 我 们将 对 这 两 个 公 式作出 修 正 ： 作 为 对式( 1 ) 的间接改进 ， 我们得到 了 定理 1 ；作为对式( 2) 的直接改进 ， 我 们得 到 了 定 理 2 ；作 为 对 式( 1 ) 的 直接 改进 ， 我们得到了推论 1 ；作为对定 理 2 与推论 1 的 综合 ， 我们得到 了推论 2 。1 6 (t) 的概念及性质8 ( t) 定 义为 j - _ 8 ( t) 出 - 1 (3 ) 艿O） = 0 0 ≠0） 8(t - t o ) 定义为』 二 艿。 一 t 。 ） 出 - 1 (4 ) 8( t - t o ) = 0 (t # : t o) 引 理 18 ( t) 的尺度变换特性艿 （ 口￡ ） 一矗 l 8 ( t) (5 ) 引理 28 ( t) 的筛选特性 厂( t ) 8 (t - t o) 一 厂 (t o ) 8 ( t - t o ) (6 ) 引 理 3傅 氏变换的尺度变换特性收稿 日 期：2 0 0 1 年1 月 2 日广 墅F Ⅳ（以） ] =I l _ I F (j 詈 ) (7 ) 引 理 4傅氏变换的时域微分特性F [ t f 。 ） ] 一 ( j ∞ ) n F ( j ∞) (8 )2对公 式 ( 1 ) 及 公 式 ( 2 ) 的修 正1 ) 作为对式(1) 的间接改进 ， 我们有定理 1 8 w ( a t) 一 云 哥 a a l 8 W 。 ） (9 ) 证 明 ：由引理 3 及引 理 4 ， 我们有F [ d ( l t ， c 以， ] 一 击 卜 詈 ) n F （ J 詈 ） ( 1 0 ) 令 厂Q ） 一 艿 (f) ，则F ( j ∞) 一 1 F j a = 1 f ( a t ) 一 艿 （ 口f） ( 1 1 ) 代入(1 0) 式 ， 得F [ 8 w ( a t)] 一 万 丧 玎 （ j w ） “ 一 矛 七 玎 F [ 艿 ‘n’。 ） ] =F [ a l - ． 『 艿 ‘n’ (t)] (1 2 ) 即8 0 0 （ 口￡ ） 一 云 彳 b 艿佃’。 ） (1 3 ) 2)作为式(2) 的直接改进 ， 我们有定理 2 厂 (t) 8 0 0 (t -t o) 一∑( - 1 ) ‘c乞 尸 ‘ ’ ( ￡ o ) 艿n 一 ^ ’o — z o ） ( 1 4 ) i证 明 ：利用数学归纳法( 1 ) 当 n - 0 时， 式(1 4) 左边和 右边分别为厂 (t) 8 co)(t -t o) = , ( t ) 8 ( t - t o ) (1 5 )第 2 3卷第 2期01年4月电气子教学报JOURNALFEVol.3opr王东 平程从菊(四川大学 电 气信 息学院 成都 ：6 1 0 0 6 5)摘要对冲激函数的两个性质进行了推广，得到了关于冲激函数导数的两个定理 ，并将这两个定理进行了综合．关键词信号与系统冲激函数导数筛选尺度变换引言“信号与系统课程中占有重要地位 。 8(t) 的许多性质 已众所周 知 ， 但艿 (t) 的 n 阶导数到底有哪些性质呢？带着这问题，我们参阅了 文献 [ 1] 。 现 将该出 中式( 25及式( 2分别重列 于 下 ：（）矗可伊8’卜 十 鲁厂O ） 艿 ‘8' 0to）=） 吖“)(t o) 8 (t本 文 中 ， 我 们将 对 这 两 个 公 式作出 修 正 ： 作 为 对式的间接改进 ， 我们得到 了 定理 1 ；作为对式( 2) 的直接改进 ， 我 们得 到 了 定 理 2 ；作 为 对 式( 1 ) 的 直接改进 ， 我们得到了推论 1 ；作为对定 理 2 与推论 1 的综合 ， 我们得到 了推论 2 。6(t)的概念及性质t)定 义为j_出艿O≠0）(t定义为』二艿。。） 出#:o)引 理 1的尺度变换特性艿口￡一矗l引理 2的筛选特性厂引 理 3广墅Ⅳ（以） ]I(j 詈7引 理 4[f]∞n∞)作为对式(1) 的间接改进 ， 我们有定理 1wa云哥W9证 明 ：由引理 3 及引 理 4 ， 我们有dc以，击卜詈令 厂Q ） 一 艿 (f) ，则口f）代入(1 0) 式 ， 得t)]万丧玎矛七‘n’。 ） ]．『‘n’ (t)]即彳b艿佃’。 ）定理 2(t) 8 0 0 (t∑(‘c乞 尸‘￡艿n^’o—zi当时， 式(1 4) 左边和 右边分别为(t) 8 co)(t,3 0 电气电子教学学报2 0 0 1 年 4 月∑ ( - l y C:f k )(t0) 8 '0 " (t _t 0) 一 ( _ l ) O Cg ,o ’ (t 0) 8 (0 - 0, 0 _t 0) = 厂 (t o) 8(t -t o) ( 1 6 ) 由引理 2 可知 ， 式(1 4 ) 成立 。( 2 ) 假设 n - N 时式(1 4) 成立 ，即厂 (t) 8 ( N '(t _t 0) 一 ∑( - 1 Y C9rf t 0 ( t o) 8 N - k (t - t o) ^= O (1 7 ) (3 ) 欲证 n = N + l 时式(1 4) 仍成 立 ， 由式(1 7)得 2 眇(t) 艿m ， (f —f 。 )] 一叠 [ 塞 （ 一 ． ）℃乱严 ， （ t 。 ， ∥N 一 ^ ，。 一 t 。 ） ] 一 NO ∑( _ l ) t C I N f k ) ( t 0) 8 ( N + i - k ) (t _ t 0) (1 8 ) 另方 面 ，利用乘积的求导法则 ，可得未 矿(￡ ) d 州， （ f一 南 ） ] 一宝 Ⅳ。 ） ] 艿 t N ，。- t o) + ， ct) 宝 [ 8 ' N ) o 一 ￡ 。 ） ] =, ( t ) 8 ( N ) ( t - t o ) + f ( t ) 8 ( N + 1 ) (t - t o) (1 9 ) 由式( 1 7 ) 得厂(t) 8 ( N ) o- t o ) = 至 ； ( - 1 ) t C h N ( t + l ) ( t O) 8( N d ~ 0 - t o ) (2 0 ) 将式( 2 0) 代 入式( 1 9) 得未 盯o ） 艿 t N ，。- t o)J = 荟 ( 一 l y C t N f l + l ) ( t 0)×a ( N - l ) c t - t o) + 厂 (t) 8 ( N + 1) 0 -t o) ( 2 1 ) 将( 2 1) 式代入( 1 8) 式得厂 ( ￡ ) 艿 ‘N + l ' ( t - t o ) 一 ∑c - i Y c ∥ ‘ ’ ( t 0) 8 ( N + ' ^ ’ × 上= O(￡ - t o) - ∑( _ l ) ' t C N f ( t + l ) (t 0) 8 ( N - l ) o _ t 0) :[ （ 一 1 ） o C 禹 厂 o ’ ( t o ) 艿 ‘N + 1 ' 0 一 ￡ o ）+∑( - l y C N ， ．’ (t.) 艿 ‘N + l -.(t- t.)] ^= 0 + c - 善 c - i ) ‘ - l C N - l 尸 ‘ ’ (￡ 。 ) 艿 ‘N + l _ ’ (t- t 。 ) 一（ 一 1 ） N (碧 护 N + 1 ’ (￡ o) 艿 ‘o' O 一￡ o） ] = (- 1 ) O C O N + l f ( 0 ) ( f o) 艿 ‘N + 1 ' 0 _ t 0) +∑( _ l ) ' ( C N + C k N - l) f ( k ) (t o) 8 (N + l 一． ’ (t - t o) +c _ i ) N + l Cr jt{ f N + " c t 0) 8 C O ' ct _ t 0) = N+ l ∑（ - 1 ） ‘ C I N + i ， ‘ ’ ( ￡ 。 ) 8 ‘N + l - ^ ’ (t - t o) ( 2 2 ) 上= O 其中利用了组合公式 Ch N + l = C k N + C t N - l 。 于 是 ， 由归纳假设 可知 ， 对任意非负整数 n ， 式( 1 4 ) 成立 ， 证毕 。 3 ) 应用定理 l ，作为式(1) 的直接改进 ， 我们有推论 l 8 W ( a t + b ) 一 — 井 i 艿 ‘n’ （ ￡+鲁 ） (2 3 ) 证明 ：a ( n ) ( a t + b) = 8 w [ a ( t +鲁 ) ] = 矛 乇 『 『 艿 ‘n’ （ t +鲁 ） ( 2 4 ) 4作为定理 2 与推论 1 的综合 ， 我们有 ：推论 2 厂 ( t) 8 c “ ’ 0 ￡+ 6 ） 一南 荟 c一 ． ， ‘ 凹 ” （ 一 鲁 卜 ”卜 鲁 ） ( 2 5 ) 证 明 ：(t) 8 c n， （ 口 ￡+ 6） 一 厂 (t) 8 ( n， [口 ￡+ b ) ] 一厂 c t， [ 南 叫 t+ 鲁 ） ]=南 阻 ∥ 卜 鲁 ） ]-南 善 c一 ， ， ‘ 黜 ” （ 一 鲁 卜 Dt +鲁 ） ( 2 6 )3 结 论本文中 ， 我们利用 傅 氏变换法 证 明了 定 理 1 ， 又 用 数学 归纳 法 证 明 了 定 理 2 ， 并由 此 得 到 了 一个 推论 ， 作为这 两个定 理 的综合 。参 考 文 献 1朱钟 霖 ． 信号 与线性 系统分 析[ M ] ． 北 京： 中国铁道出 版 社 ，1 9 9 3.4 6 （下 转第 4 7 页）电气电子教学学报年 4∑ (yC:fk)(t0) 8 '0 " (t0)Cg(t 0) 8 (0 - 0, 0(t o) 8(t由引理 2 可知 ， 式(1 4 ) 成立 。假设 n时式(1 4) 成立 ，即(t) 8 ( N '(tYC9rf欲证 n+时式(1 4) 仍成 立 ， 由式(1 7)得眇(t) 艿m ， (f)]叠塞）℃乱严， ∥N，。C另南ct) 宝'由式( 1 7 ) 得至；hO)~将式( 2 0) 代 入式( 1 9) 得o)J荟 (×a ( N(t) 8 ( N + 1) 0将( 2 1) 式代入( 1 8) 式得‘N∑c∥×上(￡禹）+．’ (t.) 艿 ‘N + l -.(t.)]善 c尸(￡ 。 ) 艿 ‘N + l _ ’ (t(碧 护(￡ o) 艿 ‘o' Ol)(t o) 8 (N + lCrjt{ f"ct∑（其中利用了组合公式 C于 是 ， 由归纳假设 可知 ， 对任意非负整数 n ， 式成立 ， 证毕 。应用定理 l ，作为式(1) 的直接改进 ， 我们有推论 l井‘n’￡+鲁证明 ：b)+鲁乇推论 2￡+凹鲁 卜鲁证 明 ：口) ]t，南 叫]=阻]-黜D结论本文中 ， 我们利用 傅 氏变换法 证 明了 定 理 1 ， 又用 数学 归纳 法 证 明 了 定 理 2 ， 并由 此 得 到 了作为这 两个定 理 的综合 。参考文献（下 转第 4 7 页）第 2 3 卷第 2 期 侯俊勇：磁致伸缩系数的智能化测量系统设计4 7使整个放大电路变得更为紧凑 ， 调试更为方便 ， 也降低了功耗 。 2.4 动态校零 为了 校 正 由 于 电桥中 R i 、 R z 、 R 3 、 风 的 不 理 想等值以 及电路中的其它影响使 V o 初始值不为零 ，在磁化电流采样转换电路加接个同步 工作的模拟 电子 开 关 K ( 用 A H 5 0 1 2 ， 如 图 3 所示) ， 实 施 动 态 较零 。采样前 ， 先由 C P U 发出零信号 ，使 K 断开 ，接着读 入 “ 零 ” 位 电压 得 V ol ， 并 将 其存入 零位值寄存 器单元 ， 然后复位校零控制信号 ，即使 K 接通 ， 采样读入 迭 加 了 “ 零 ” 位 电 压 数据 y 02 ， 显 然 ， 实 际 电 压 为y O O = y O Z - y o l 。 2.5 其它硬件电路结构由 于 A / D 转换 器及 其后 面 电路 的 工 作原 理 及 设计方法 已有许多资料作了详细介绍 ， 这 里就 不再 祥述 ， 只对系统作简要介绍 ：( 1 ) A / D 转换器：本系统采用 双 积分 A / D 转换器I C L 7 1 0 9 ， 其特点是精度高 ， 抗干扰能力强；( 2 ) 单片机 8 0 3 1 作为系统的核心对系统各模块进行管 理 控制和 进行数据处 理；( 3 ) 由于 8 0 3 1 内部只有 1 2 8 字节 R A M ， 且片内无 R O M ， 所 以 需 要 对 其 进 行 存 储 器 扩 展 ， 扩 展1 6 K E P R O M 用 于 存 放 系 统 程 序 ， 扩 展 2 K RA M 6 1 1 6 用 于存放系统的些中间结果及作为数据处理的过渡单元 。( 4 ) 并行通讯接 口 8 2 5 5 是种通用可编程并行I/ O 接 口 芯片 ， 本系统选用它作为 8 0 3 1 和 P C 的 通讯 口 。 3 结束语该磁致伸缩系数智能化测 量系统经实际使用效果较好 ， 完成次实验 只需半小时左右且测 出的数据准 确 度 高 ， 绘 制 的 曲 线 精 度 好 ， 实 验 误 差 小 于1 % 。 该系统的应用能更好地研究铁磁物质的磁性持性 。方培生 ． 传感器原理 ． 北京：电子 工业出版社．1 994陈显桢等 ． 单片微机开发调试实验技术 ． 四川大学出版社，1 992曾贻伟等 ． 普通 物理 实验教 程 ． 北 京： 北 京师范大学 出 版社 ，1 9 8 9 4 陈元莉、 侯俊勇 、 黄蕊彬 ， 液体密度的智能化版测量 ， 四川师范学院学报（自然科学版 ，实验物理研究专集）． 2 0 0 0.4 7D e sig n o f I n t ellig e n t Me a s u ri n g S y s t e m o n M a g n e ti c F l e x i b l e C o e f ti ci e n tH o u J u n y o n g (D e p t.o f P h y sic s , Sich u a n T e a ch e rs C olle g e , Sich u a n , N a n ch o n g 6 37 00 2 , C hi n a)A b s t r a c t : T his p a p e r i s a d e t ail e d p r e s e n t o f t h e p ri n cipl e o f m i c r o c o n t r oll e r i n t ellig e n t m e a s u ri n g s y s t e m o nm a g n e ti c f l e xibl e c o e ffi cie n t a n d th e k e y p oi n t s a b o u t th e h a rd w a r e s y st e m d e sig ni n gK e y w o r d s : m i c r o c o n t r o l l e r s y s t e m ; m a g n e ti c f l e xibl e c o e fficie n t ;i m b al a n c e b rid g e ; s t r ai n r e si s t a n c e ; m e a s u r -i n g（上 接 第 3 0 页 王 东 平 文）r f w o P r o p e r ti e s o f D e ri v a ti v e o f I m p u l s e F u n c ti o nW a n g D o n g p i n g , C h e n g C o n gj u (I n s t.o f Ele c t r i c al & I r t f o n n a ti o n E n g.Si c h u a n U ni v., C h e n g d u 6 1 0 0 6 5 , C hi n a )A b s t r a c t : T h r o u g h s p r e a di n g t w o p r o p e r ti e s o f i m p ul s e f u n c t i o n , t w o t h e o r e m s o f d e ri v a ti v e t o i m p ul s e fu n c ti o n a r e o b t ai n e d , a n d o n e c o r oll a r y u s e d a s t h e c o m bi n a ti o n o f t h e t w o t h e o r e m s a r e al s o o b t ai n e d.Ke y w o r d s : sig n al a n d s y s t e m ;i m p u l s e f u n c ti o n ; d e ri v a ti v e ; c h o s s e ; r e s c ali n gr — 丌 曩 — — — 1第侯俊勇：磁致伸缩系数的智能化测量系统设计低了功耗 。动态校零为了 校 正 由 于 电桥中 R i 、 R z 、 R 3 、 风 的 不 理 想开 关K用H如 图 3所示) ， 实 施 动 态 较读入零位 电压 得 V ol ， 并 将 其存入 零位值寄存 器迭 加 了位 电 压 数据 y 02 ， 显 然 ， 实 际 电 压 为Z其它硬件电路结构由 于 A / D 转换 器及 其后 面 电路 的 工 作原 理 及设计方法 已有许多资料作了详细介绍 ， 这 里就 不再祥述 ， 只对系统作简要介绍 ：/转换器：本系统采用 双 积分 A / D 转换单片机 8 0 3 1 作为系统的核心对系统各模块由于 8 0 3 1 内部只有 1 2 8 字节 R A M ， 且片内无M所以需对其 进 行 存 储 器 扩 展 ， 扩 展P于存放系统序 ，扩展用 于存放系统的并行通讯接 口 8 2 5 5 是I/接 口 芯片 ， 本系统选用它作为 8 0 3 1 和 P C 的 通讯结束语%该系统的应用能更好地研究铁磁物质的磁性持性陈元莉、 侯俊勇 、 黄蕊彬 ， 液体密度的智能化版测量 ， 四川师范esigellig e n tsurigSmtixti ci e n tsicSich u a n T e a ch e rs C olle g e , Sich u a n , N a n ch o n g 6 37 00 2 , C hi n a)Thisail e dcipl eoll e r i n t ellig e n t m e a s u ri n g s y s t e m o nxibl effi cie n t a n d th e k e y p oi n t s a b o u t th e h a rd w a r e s y st e m d e sig ni n g;fficie n t ;i m b al a n c e b rid g e ; s t r ai n r e si s t a n c e ; m e a s u r -vgjEleal&Sinihidiulaioll a r ybi;iali丌 曩

关于冲激函数导数的两个性质